Kita tahu bahwa log dari peringkat matriks 0-1 adalah batas bawah dari kompleksitas komunikasi deterministik, dan log dari peringkat perkiraan adalah batas bawah dari kompleksitas komunikasi acak. Kesenjangan terbesar antara kompleksitas komunikasi deterministik dan kompleksitas komunikasi acak adalah eksponensial. Jadi bagaimana dengan kesenjangan antara peringkat dan perkiraan peringkat dari matriks boolean?
10
Jawaban:
Pertama saya akan memberikan beberapa latar belakang dan menentukan perkiraan peringkat. Referensi yang baik adalah survei terbaru oleh Lee dan Schraibman Lower Bounds on Communication Complexity .
Hasil oleh Krause mengatakan bahwa mana dan adalah dibatasi-kesalahan pribadi-koin kompleksitas komunikasi dengan kesalahan atas-dibatasi oleh .α = 1 / ( 1 - 2 ϵ ) R p r i ϵ A ϵRpriϵ(A)≥logrankα(A) α=1/(1−2ϵ) Rpriϵ A ϵ
Di atas adalah untuk latar belakang. Sekarang untuk menjawab pertanyaan, Paturi dan Simon menunjukkan bahwa benar-benar mencirikan kompleksitas komunikasi tak terbatas-kesalahan . Mereka juga menunjukkan bahwa hal ini sesuai dengan dimensi minimum pengaturan mewujudkan fungsi boolean yang matriks komunikasi adalah . Kompleksitas komunikasi unbounded-error dari fungsi kesetaraan adalah . Ingatlah itu.A A O ( 1 )rank∞(A) A A O(1)
Matriks komunikasi untuk persamaan hanyalah identitas, yaitu, matriks boolean dengan baris dan kolom dengan semua yang ada di diagonal. Mari kita tunjukkan ini dengan . Alon menunjukkan bahwa yang mendekati faktor logaritmik (dengan teorema oleh Krause kita memperoleh ).2 n I 2 n r a n k 2 ( I 2 n ) = Ω ( n ) R p r i ϵ ( E Q ) = Ω ( log n )2n 2n I2n rank2(I2n)=Ω(n) Rpriϵ(EQ)=Ω(logn)
Matriks identitas memiliki peringkat penuh, yaitu . Dengan demikian, kami memiliki pemisahan besar secara eksponensial untuk dan . α = 2 α → ∞2n α=2 α→∞
sumber