Mengapa grafik Ramanujan dinamai Ramanujan?

Baru-baru ini saya mengajar ekspander, dan memperkenalkan gagasan grafik Ramanujan. Michael Forbes bertanya mengapa mereka dipanggil seperti ini, dan saya harus mengakui bahwa saya tidak tahu. Siapa saja?

Untuk menambahkan beberapa konten ke jawaban di sini, saya akan menjelaskan secara singkat apa dugaan Ramanujan.

Pertama-tama, dugaan Ramanujan sebenarnya adalah teorema, dibuktikan oleh Eichler dan Igusa. Ini adalah salah satu cara untuk menyatakannya. Misalkan menunjukkan jumlah solusi integral untuk persamaan kuadrat . Jika , itu tentu saja dibuktikan oleh Legendre, tetapi Jacobi memberikan perhitungan yang tepat: . Tidak ada yang sama persisnya diketahui untuk m yang lebih besar tetapi Ramanujan memperkirakan batas: r_m (n) = c_m \ sum_ {d \ mid n} d + O (n ^ {1/2 + \ epsilon}) untuk setiap \ epsilon> 0 , dimana c_m adalah konstanta yang bergantung hanya pada m$r_m(n)$$x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$$m=1$$r_m(n) > 0$$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$ε > 0 c m$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$.

Lubtozky, Phillips dan Sarnak membangun ekspander mereka berdasarkan hasil ini. Saya tidak terbiasa dengan rincian analisis mereka tetapi ide dasar, saya percaya, adalah untuk membangun grafik Cayley dari $PSL(2,Z_q)$ untuk q utama $q$yang $1 \bmod 4$ , menggunakan generator yang ditentukan oleh setiap jumlah -empat-kotak dekomposisi dari $p$ , di mana $p$ adalah modulo residu kuadratik $q$ . Kemudian, mereka menghubungkan nilai eigen dari grafik Cayley ini dengan $r_{2q}(p^k)$ untuk kekuatan integer $k$ .

Referensi, selain kertas Lubotzky-Phillips-Sarnak itu sendiri, adalah deskripsi singkat Noga Alon dalam Tools from Higher Algebra .

Wikipedia memberikan jawaban ini dengan agak cepat. Mengutip

Konstruksi grafik Ramanujan seringkali aljabar. Lubotzky, Phillips dan Sarnak menunjukkan bagaimana membangun keluarga tak terbatas grafik Ramanujan , kapan pun adalah bilangan prima. Bukti mereka menggunakan dugaan Ramanujan , yang mengarah ke nama grafik Ramanujan.$p+1$$p = 1 \mod 4$

Makalah yang dimaksud adalah grafik Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips dan P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Nomor 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.