Aplikasi Kompleksitas Kolmogorov dalam Teori Angka

Apa saja aplikasi Kompleksitas Kolmogorov dalam Teori Angka dan pada bidang terkait bukti? (Monograf oleh Li & Vitanyi tidak memiliki banyak aplikasi yang terkait dengan Teori Angka.)

Salah satu bukti bagus yang saya temui adalah bukti keberadaan bilangan prima tak terbatas, menggunakan definisi Kompleksitas Kolmogorov dan faktor kompresi.

Juga, apa pentingnya Kompleksitas Kolmogorov dalam Kriptografi?

reference-request big-list it.information-theory kolmogorov-complexity Subhayan
sumber

Bisakah Anda mengarahkan saya ke bukti berdasarkan kompleksitas Kolmogoroff dari ketidakterbatasan bilangan prima?

Martin Berger

@MartinBerger: lihat buku Li dan Vitanyi, atau catatan

Marzio De Biasi

oke, ini sedikit canggung, tetapi saya tidak bisa mengingat di mana saya menemukan itu, buktinya seperti ini .. anggap Anda memilih inf. set sehingga positif dan , . Sekarang untuk keperluan kontradiksi anggap hanya ada beberapa bilangan prima yang terbatas, .

S = n_{1}, n_{2}, . . .

$S = {n_1,n_2,...}$

n

$n$

K (n) \geq \frac{l o g_{2} n}{2}

$K(n) \geq \frac{log_2 n}{2}$

\forall n \in S

$\forall n \in S$

p_{1} . . . p_{m}

${p_1...p_m}$

Subhayan

[contd] Jadi sekarang kita dapat mewakilisebagai. Karena kami mengasumsikan hanya ada banyakbilangan prima(), mereka memiliki representasi tetap. Jadihanya tergantung padas .. jadi untuk meringkasnya,... yang dapat paling beberapa... tapi kemudian kita menyatakan. Karenanya) ini menyiratkan bahwatetapi ini hanya berlaku untuk jumlahterbatas

n_{i}

$n_i$

Σ_{j = 1}^{m} p_{j}^{v_{i, j}}

$\Sigma_{j=1}^{m}p_j^{v_{i,j}}$

m

$m$

K (n_{i})

$K(n_i)$

v_{i, j}

$v_{i,j}$

K (n_{i}) = c o n s t + Σ_{j = 1}^{m} l o g_{2} (v_{i, j} + 1)

$K(n_i) = const + \Sigma_{j=1}^{m}\ log_2(v_{i,j}+1)$

c o n s t + m . l o g_{2} l o g_{2} n_{i}

$const + m.log_2log_2n_{i}$

K (n) \geq \frac{l o g_{2} n}{2}

$K(n) \geq \frac{log_2 n}{2}$

\forall n \in S

$\forall n \in S$

\frac{l o g_{2} n_{i}}{2} \leq m . l o g_{2} l o g_{2} n_{i}

$\frac{log_2 n_i}{2} \leq m.log_2log_2n_{i}$

n_{i}

$n_i$ . Karena itu kita sampai pada suatu kontradiksi

Subhayan

Saya suka contoh NT kedua dari catatan Lance: bahwa bilangan prima -th paling banyak . Ini adalah salah satu log off dari teorema bilangan prima, dan buktinya tentang semudah bukti infinitude bilangan prima melalui kompleksitas K.

k

$k$

p_{k}

$p_k$

p_{k} \leq k \log^{2} k

$p_k \leq k\log^2 k$

Sasho Nikolov

Jawaban:

Setiap integer memiliki kompleksitas Kolmogorov terkait; program terpendek yang mencetak bilangan bulat itu.

Ada bilangan prima hingga sehingga bilangan prima memiliki kompleksitas Kolmogrov yang lebih rendah daripada rata-rata komposit; vs . $\approx {x \over ln(x)}$ $x$ $\approx ln({x \over ln(x)})$ $\approx ln(x)$

Sebagai efek samping Anda harus memiliki beberapa celah besar di antara bilangan prima; jika tidak, Anda bisa menyandikan setiap angka sebagai bilangan prima sebelumnya ditambah sejumlah kecil bit.

Chad Brewbaker
sumber

Ada kesenjangan besar antara bilangan prima karena teorema bilangan prima, saya tidak berpikir Anda perlu menambahkan kompleksitas Kolmogorov dalam campuran untuk menunjukkan itu.

Sasho Nikolov

Teori bilangan umumnya berkaitan dengan persamaan bilangan bulat, meskipun catatan wikipedia menyatakan , lebih luas, subbranch dari teori bilangan adalah perkiraan dari real dengan rasional dan hubungan di antara mereka: "Orang juga dapat mempelajari bilangan real dalam kaitannya dengan bilangan rasional, misalnya, seperti yang diperkirakan oleh yang terakhir ( Diophantine approximation ). "

berikut adalah dua makalah yang secara umum sejalan:

Kompleksitas Kolmogorov dari bilangan real Ludwig Staiger
Karakterisasi ce acak real Cristian S. Calude

vzn
sumber

Apa bagian dari kompleksitas Komolgorov yang tidak dapat diterapkan ke persamaan integer? Walaupun memang benar bahwa subjek sering memperhatikan dirinya sendiri dengan tak terbatas, teori bilangan dapat juga (misalnya, persamaan diophantine, dll.) Dan tentu saja ada berbagai versi KC yang terbatas sumber daya yang dapat relevan, dll. Saya hanya tidak yakin di mana 'Teori bilangan umumnya berkaitan dengan persamaan bilangan bulat' ada hubungannya dengan apakah ada aplikasi KC untuk topik tersebut.

Steven Stadnicki

intinya adalah bahwa pada pencarian online sepintas saya belum [belum?] menemukan referensi sangat langsung terkait KC dengan teori bilangan, tetapi ada beberapa yang berkaitan dengan menganalisis real & perkiraan rasional dengan cara yang berbatasan dengan teori bilangan.

vzn

ya, saya juga mencoba mencari tentang aplikasi KC dalam teori bilangan, namun saya tidak dapat menemukan apa-apa, sekarang KC tampaknya menjadi cara yang baik untuk mengatasi beberapa masalah dalam teori bilangan .. harus ada beberapa bukti mendasar (aplikasi) di sini ..

Subhayan

-2

coba referensi ini

Dari teorema Kolmogorov tentang distribusi empiris ke teori bilangan , Kevin Ford, juga di sini .

Kami menggambarkan beberapa perkiraan baru untuk kemungkinan bahwa fungsi distribusi empiris tetap di satu sisi dari garis yang diberikan, dan memberikan aplikasi ke teori bilangan.

$K(x)$
$K(x)$ $K(x)$ pada saat yang sama merupakan ukuran yang paling ketat dari entropi, namun pada saat yang sama merupakan yang paling sulit dilakukan, dengan langkah-langkah entropi lainnya pada titik-titik "lebih mudah" lainnya dalam kontinum tradeoff yang terlihat jelas vs.

vzn
sumber

-1: Teorema Kolmogorov dalam referensi pertama tidak terkait dengan kompleksitas Kolmogorov. Ini adalah hasil terkenal tentang konvergensi fungsi distribusi empiris dari sampel IID ke CDF.

Sasho Nikolov

menyetujui hal itu, oops = (

vzn