Motivasi untuk estimasi volume

12

Apa saja aplikasi konkret dan menarik untuk memperkirakan volume polyhedra cembung dari jenis yang dipertimbangkan dalam makalah yang lebih baru tentang metode berjalan acak?

Makalah ini pada estimasi volume menyebutkan integrasi numerik sebagai satu motivasi. Apa contoh integral yang ingin dihitung orang dalam praktik yang sangat sulit dihitung menggunakan metode sebelumnya? Atau ada beberapa aplikasi praktis lain yang menarik untuk menghitung volume polytope 1000-dimensi?

cg.comp-geom na.numerical-analysis markov-chains
sumber
Saya ingin tahu apakah Anda akan mendapatkan lebih banyak respons dari jenis yang Anda cari di physics.stackexchange.com ... Juga, bagi kita yang tidak akrab dengan sub-area teori tertentu, dapatkah Anda memasukkan beberapa referensi untuk "makalah yang lebih baru tentang metode berjalan acak"?
Joshua Grochow
lebih banyak memikirkan hal ini setelah menjawab & mencari-cari. beberapa makalah tampaknya menunjukkan, atau pergi ke arah itu, bahwa menghitung volume polytope adalah sesuatu seperti masalah mendasar dalam teori kompleksitas. ini tidak mengherankan mengingat bahwa menghitung determinan adalah masalah utama lain dalam teori kompleksitas, dan determinan adalah volume parallelpiped. jadi salah satu jawaban yang masuk akal tampaknya adalah bahwa ada koneksi mendalam atau alami dalam teori kompleksitas. lebih banyak bukti tentang hal ini akan menjadi ikatan dengan beberapa kelas kompleksitas tertentu .... dapat menggali lebih lanjut tentang ini ....
vzn
lihat juga mathoverflow, algoritme untuk menemukan volume polytope kompleks . ya pertanyaan di atas ini meminta aplikasi, bukan algoritma, tetapi beberapa makalah algoritma akan memberikan motivasi / aplikasi.
vzn

Jawaban:

7

Memperkirakan volume polytope cembung dan tugas pengambilan sampel yang terkait erat memiliki aplikasi dalam rilis data pribadi.

Secara kasar, masalah yang ingin Anda selesaikan adalah: diberikan sekumpulan pertanyaan bernilai numerik pada basis data, berikan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang sedekat mungkin dengan jawaban yang sebenarnya, sambil memuaskan privasi diferensial. Dalam beberapa rentang parameter, algoritma optimal untuk menyelesaikan masalah ini memiliki deskripsi geometris, dan mengimplementasikannya melibatkan pengambilan sampel dari cembung polytope. Lihat di sini: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

Aaron Roth
sumber
4

ss

Dalam keamanan komputer, bekerja pada aliran informasi kuantitatif telah menerapkan metode ini untuk memperkirakan jumlah informasi rahasia yang mungkin dibocorkan oleh program tertentu. Di sini kita membangun polyhedron yang mewakili kemungkinan keadaan program pada titik tertentu dalam pelaksanaannya, dan kemudian kami ingin memperkirakan sesuatu tentang jumlah keadaan yang dimungkinkan (ini terkait dengan jumlah informasi yang dirilis). Jadi, pada titik tertentu dalam analisis, mereka akhirnya mencoba menghitung jumlah titik integer yang terkandung di dalam polyhedron. Bau ini terkait dengan estimasi volume (untuk saya).

Inilah makalah awal yang representatif:

Yang mengatakan, ini mungkin tidak persis apa yang Anda cari. Ini membutuhkan metode untuk menghitung jumlah titik integer di dalam polyhedron, yang tidak sama dengan volume polyhedron. Juga, saya tidak berpikir mereka perlu menganalisis polyhedra dimensi 1000 atau lebih tinggi (meskipun saya tidak yakin tentang itu).

DW
sumber
Terima kasih. Masalah menemukan jumlah solusi integer untuk satu set ketidaksetaraan linier adalah # P-lengkap saya pikir ( math.ucdavis.edu/ ~ delelo / RECENT_WORK / semesterberichte.pdf memiliki beberapa aplikasi lagi juga). Padahal memperkirakan volume bisa dilakukan dalam waktu poli. Anda tampaknya dapat menggunakan yang terakhir untuk mendekati yang pertama tetapi saya benar-benar mencari aplikasi konkret langsung dari estimasi volume.
Menghitung volume polytope juga # P-hard. Dengan sendirinya, fakta ini tidak banyak berbicara tentang perkiraan.
Sasho Nikolov
P≠BPP
1
@ Turbo Jelas itu tidak membuktikan bahwa P tidak sama dengan BPP, karena dua kelas ini bukan tentang model oracle. Saya percaya bahwa secara deterministik mendekati volume polytope yang diwakili oleh ketidaksetaraan terbuka.
Sasho Nikolov
@SashoNikolov Jika Anda mungkin tahu masalah yang tampaknya sederhana ini akan menyenangkan mathoverflow.net/questions/336369/… .
T ....
4

Hari Narayanan baru-baru ini memposting sebuah makalah di arXiv di mana ia menggunakan memperkirakan volume cembung polytope untuk membuktikan hasil tertentu tentang koefisien Littlewood-Richardson (LR). Koefisien LR adalah bilangan bulat tertentu dalam teori representasi yang memiliki aplikasi dalam teori kompleksitas geometris, fisika partikel, dan banyak bidang lainnya (lihat pengantar makalah di atas untuk referensi lebih lanjut). Sekali lagi, mungkin bukan apa yang Anda inginkan, tetapi koneksi yang menarik tetap.

Joshua Grochow
sumber
3

lihat misalnya: Estimasi Volume Dimensi N dari Badan Cembung: Algoritma dan Aplikasi oleh Sharma, Prasanna, Aswal untuk contoh / studi kasus dalam peramalan ekonomi, yaitu manajemen rantai pasokan.

Metode kami dapat digunakan untuk mengukur konten informasi dan ketidakpastian, di wilayah kendala, dalam kerangka kerja optimasi yang kuat. Kami menunjukkan aplikasi dalam manajemen rantai pasokan, di bawah kondisi ketidakpastian masa depan.

pada dasarnya idenya adalah bahwa polytope dapat memodelkan "skenario masa depan" dari parameter konfigurasi manajemen rantai pasokan. yang ketidakpastian (atau "error") dalam model / estimasi diambil sebagai sebanding dengan volume polytope (s). lihat slide 3,4. ini kemudian memungkinkan:

  • estimasi kuantitatif ketidakpastian
  • generasi informasi yang setara
  • membantu dalam analisis bagaimana-jika
vzn
sumber
Terima kasih. Contoh-contoh ini bagus tetapi saya masih sulit untuk percaya itu adalah apa yang dimaksud ketika orang mengatakan bahwa memperkirakan volume tubuh cembung dimensi tinggi adalah salah satu aplikasi yang paling penting dari metode Markov Chain Monte Carlo.
menyetujui contoh dalam slide adalah "ukuran mainan" sejauh # dari dimensi tetapi mungkin beberapa masalah manajemen rantai pasokan memiliki dimensi besar dalam praktiknya. juga garis penelitian ini tampaknya menunjukkan kepada saya bahwa itu mungkin memiliki beberapa aplikasi dalam beberapa bentuk data.
vzn