Saya mencari hasil kekerasan pada pewarnaan vertex grafik dengan derajat terikat.
Diberikan grafik , kita tahu bahwa untuk ϵ > 0 , sulit untuk mendekati χ ( G ) dalam faktor | V | 1 - ϵ kecuali NP = ZPP [ 1 ]. Tetapi bagaimana jika tingkat maksimum G dibatasi oleh d ? Apakah ada rasio kekerasan dalam bentuk d 1 - ϵ (untuk beberapa ϵ ) dalam kasus ini?
Pertanyaan yang lebih mudah adalah: Kekerasan mendekati jumlah-kromatik-angka hypergraphs ketika ukuran tepi mereka dibatasi oleh . Bisakah kita berharap untuk d 1 - ε rasio kekerasan dalam kasus ini? (katakanlah, untuk ϵ > 0 )
Terima kasih atas perhatian anda!
cc.complexity-theory
approximation-hardness
graph-colouring
hypergraphs
bounded-degree
afshi7n
sumber
sumber
Jawaban:
Seperti yang ditunjukkan David, makalah Khot, "Peningkatan Hasil yang Tidak Dapat Diperkirakan untuk MaxClique, Nomor Kromatik dan Perkiraan Grafik Berwarna", Teorema 1.6, mengatakan bahwa NP-sulit untuk mewarnai grafik -warna dengan 2 Ω ( ( log K ) 2 ) warna untuk grafik dengan derajat paling banyak 2 2 ( log K ) 2 , untuk konstanta K yang cukup besar . Dengan kata lain, untuk grafik derajat d , sulit untuk mewarnai 2 √K 2Ω((logK)2) 22(logK)2 K d -warna grafik denganlogdwarna.2loglogd√ logd
Untuk mendapatkan batas gelar yang lebih baik, Anda mungkin dapat menggunakan ide dari makalah Trevisan "Hasil yang tidak dapat diperkirakan untuk masalah optimisasi pada instance derajat terbatas". Pengamatan utama adalah bahwa grafik yang dihasilkan oleh pengurangan FGLSS adalah gabungan subgraph bipartit lengkap, dan seseorang dapat mengganti masing-masing dengan disperser bipartit yang jauh lebih jarang. Gagasan serupa digunakan dalam banyak hasil seperti Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , Teorema 1.4 / Lampiran D.
Saya pikir ini harus memberi Anda sesuatu untuk2clogd√ d dc 0<c<1
Tingkat yang terikat dalam makalah yang disebutkan Michael mirip dengan Khot, yaitu eksponensial dari kasus kesehatan. Tentu saja pendekatan sparsifikasi di atas juga meningkatkan ini, tetapi mungkin tidak akan memberikan konstanta yang lebih baik untuk tujuan Anda.
sumber
sumber
Ada hasil yang tidak dapat diperkirakan untuk mewarnai grafik derajat terbatas dalam makalah FOCS'01 Khot, "Peningkatan Hasil yang Tidak Dapat Diduga untuk MaxClique, Angka Kromatik dan Pewarnaan Grafik Perkiraan" - mungkin lebih lemah dari yang Anda inginkan, tetapi setidaknya itu berada di arah yang benar.
sumber
Hasil ini mungkin bermanfaat:
T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, grafik unik berwarna dan kekerasan grafik pewarnaan dari ketebalan besar, Combin. Mungkin. Komputasi. 7 (4) (1998) 375-386
sumber