Pertukaran hadiah gajah putih: mekanisme pembagian yang adil

Permainan populer di pesta liburan di Amerika Utara adalah pertukaran hadiah gajah putih . Secara singkat (mengabaikan variasi) berfungsi sebagai berikut:

Ada orang dan n hadiah yang belum dibuka. Pemain dipesan secara sewenang-wenang. Di babak , pemain juga$n$$n$$i^{\text{th}}$$i$

• memilih hadiah yang dibungkus dan membuka bungkusnya sebagai hadiah mereka
• "mencuri" salah satu hadiah yang sudah dibuka (dari beberapa pemain ).$k < i$

Jika hadiah pemain dicuri, mereka sekarang memiliki kesempatan untuk melakukan hal yang sama. Babak selesai ketika pemain memilih hadiah yang dibungkus.

Meskipun ada banyak variasi dalam sistem, satu hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa pemain yang bertahan terakhir memiliki keuntungan yang tidak adil karena mereka sendiri dijamin memiliki kemampuan untuk memilih hadiah yang terbuka .

Ini berada di bawah kelas metode pembagian adil yang berkaitan dengan barang yang tidak dapat dibagi (tidak seperti memotong kue).

Pertanyaan saya adalah:

Apakah ada mekanisme untuk mengucurkan hadiah yang adil (di mana setiap pemain memiliki kesempatan yang sama untuk memilih hadiah bernilai tinggi di bawah penilaian mereka)?

Perhatikan bahwa beberapa fleksibilitas akan diperlukan dalam definisi wajar karena barang tidak dapat dibagi dan kami tidak memperkenalkan kompensasi moneter untuk pemain.

Ini bukan jawaban yang lengkap, tapi itu tidak lengkap.

Beberapa latar belakang dan penerangan terkait untuk mereka yang tidak terbiasa -

Properti yang bagus akan membuat iri, di mana tidak ada pemain yang ingin berdagang dengan yang lain setelah mekanisme selesai. Sayangnya, untuk barang yang tidak dapat dibagi dan tidak ada uang, kita dapat melihat bahwa ini tidak mungkin (mungkin ada satu kebaikan yang menurut dua orang terbaik). Properti umum lainnya adalah proporsionalitas, di mana setiap orang mendapatkan apa yang mereka anggap sebagai nilai lebih dari $1/n$ ; ini juga jelas mustahil untuk selalu diperoleh (mungkin ada item yang tidak diinginkan siapa pun, tetapi seseorang harus berakhir dengan itu).

[1] berfokus pada perhitungan alokasi kecemburuan minimum dalam skenario barang-barang tak terpisahkan. Mereka menunjukkan bahwa mekanisme kecemburuan minimum tidak mungkin benar. Namun, kami mungkin masih dapat merancang game dengan harga stabilitas yang baik (meskipun pemain tidak jujur).

[2] menerapkan kriteria "max-min fairness". Idenya adalah untuk mempertimbangkan fungsi penilaian masing-masing pemain atas himpunan bagian item, menormalkannya menjadi satu di seluruh set, dan untuk menemukan alokasi yang memaksimalkan utilitas minimum agen apa pun. Namun, sekali lagi, mereka tidak mempertimbangkan pengaturan kami di sini dengan permintaan unit. Yang lain mempelajari algoritma aproksimasi untuk masalah ini, tetapi saya tidak tahu apakah ada yang mempertimbangkan pembatasan ini.

-

Patut dicatat bahwa biasanya gagasan tentang keadilan adalah kasus terburuk: Mekanisme biasanya (mungkin tidak selalu?) Dianggap iri-bebas jika setiap pemain memiliki strategi yang menjamin dia tidak akan iri dengan alokasi pihak lain. Jika dia bermain untuk memaksimalkan utilitas yang diharapkan, dia mungkin iri atau tidak. Hal yang sama berlaku untuk proporsionalitas.

Karena itu, sulit untuk mencoba melonggarkan gagasan ini dengan cara yang wajar ketika diambil dengan pendekatan filosofis terhadap pembagian yang adil ini. Mungkin tergoda untuk mendefinisikan kriteria seperti "kecemburuan ex-ante-freeness" di mana kita berharap untuk menjadi iri dalam harapan (apa pun artinya). Namun, saya pikir ini akan benar-benar berangkat pada jalur yang sama sekali baru dari filosofi saat ini. Jika seseorang melakukan itu, saya pikir kita harus membuang gagasan kecemburuan atau proporsionalitas sama sekali dan mulai berpikir tentang bagaimana diharapkan-utilitas-pemaksimalkan akan memainkan game pembagian adil ini di tempat pertama.

$n$$\frac{1}{n}$

Untuk mengatasi ini, saya pikir kita harus mempertimbangkan kriteria ordinal. Saya mengusulkan berikut ini sebagai relaksasi "alami":

$(\varepsilon,\delta)$$1-\varepsilon$$\delta n$

$(\varepsilon,\varepsilon)$$\varepsilon$$\varepsilon n$$\varepsilon n$

$(\varepsilon,\varepsilon)$$\varepsilon$

$(\varepsilon,\varepsilon)$

-

[1] Lipton, Markakis, Mossel, Saberi. "Tentang Alokasi Sekitar Barang yang Tidak Terpisahkan." EC 2004.

[2] Bezakova, Dani. "Mengalokasikan Barang yang Tidak Terpisahkan." SIGECOM 2005.

[3] Ya, begitu juga diktator serial acak, tetapi diktator serial acak sering memiliki sifat yang bagus dalam teori. Saya juga berasumsi bahwa setiap item hanya dapat dicuri sekali per putaran.

Sebagian besar pengalaman pertukaran hadiah gajah putih juga dikendalikan oleh seleksi acak. Variasi populer mencakup aturan yang dipungut pertama kali, tetapi itu tidak selalu termasuk dalam aturan. Ini mengambil keuntungan tidak adil dari dipilih secara acak pertama dari persamaan. Aturan lain mensyaratkan bahwa tidak ada "steal-back" langsung dalam permainan. Selain itu, sebagian besar permainan dimainkan dengan aturan "tiga sentuhan", yang mengatakan bahwa sekali dibuka, lalu dicuri sekali, lalu dicuri dua kali, ia menjadi beku dari pencurian di masa depan. Aturan ini menciptakan tingkat keuntungan tidak adil bagi mereka yang memilih untuk mengambil hadiah yang telah disentuh dua kali.

Spesialis rekreasi kami sebagai AlbinoPhant mempelajari permainan pertukaran hadiah ini sepanjang tahun. Jika Anda ingin menambahkan dimensi acak tambahan ke gim, gunakan cerita Kiri-Kanan dalam permainan. Kisah Lefty the White Elephant disarankan sebagai sampel.

Manfaat sebenarnya dari bertukar hadiah dalam kegiatan ini adalah keterlibatan sosial yang dihasilkan oleh proses ini - Hadiah biasanya adalah sekunder dari kesenangan olok-olok hebat. Namun demikian, semua pemain pergi dengan beberapa tingkat hadiah hadiah.

$n$$G$$G$$n$$n$

$\Omega(\log n)$

Nah, di atas menggambarkan apa yang akan kita lakukan jika para pemain tertarik pada teori grafik spektral dan / atau menghitung modular inverses :) Kami sebenarnya hanya bermain dengan cara biasa.