Grafik planar memiliki genus nol. Grafik yang dapat disematkan pada torus memiliki genus paling banyak 1. Pertanyaan saya sederhana:
Apakah ada masalah yang dapat dipecahkan secara polinomi pada grafik planar tetapi NP-hard pada grafik genus satu?
Lebih umum apakah ada masalah yang secara polinomi dapat dipecahkan pada grafik genus g tetapi NP-keras pada grafik genus> g?
cc.complexity-theory
ds.algorithms
graph-theory
planar-graphs
Siwa Kintali
sumber
sumber
Jawaban:
Ini adalah publisitas karya saya sendiri, tetapi angka silang dan 1-planaritas dapat dipecahkan secara sepele dalam grafik planar tetapi sulit untuk grafik genus satu. Lihat http://arxiv.org/abs/1203.5944
sumber
Jika masalah mainan baik-baik saja:
Misalkan dan biarkan menjadi beberapa grafik genus . Untuk formula-CNF, misalkan menjadi beberapa penyandian sebagai grafik planar ditambah salinan . H g + 1 ϕ G ϕ ϕ Hg∈ N H g+ 1 ϕ Gϕ ϕ H
Mengingat , yang merupakan grafik genus , NP-sulit untuk memutuskan apakah memuaskan. Namun masalah ini menjadi sepele ketika terbatas pada grafik genus . g + 1 ϕ ≤ gGϕ g+ 1 ϕ ≤ g
sumber
EDIT (2012-09-05): Komentar Jeff dan Radu benar. Hasil yang dikutip tidak menjawab pertanyaan. Untuk memperluas komentar Radu, berikut adalah algoritma terkait oleh Bravyi yang memberikan algoritme untuk mengontrak tensor matchgate pada grafik dengan genus dengan run-time di mana adalah jumlah minimum tepi yang harus dihapus dari untuk membuatnya planar.g T = p o l y ( n ) + 2 2 g O ( m 3 ) m GG g T= p o l y( n ) + 22 gO ( m3) m G
Cai, Lu, dan Xia baru-baru ini membuktikan dikotomi berikut untuk masalah penghitungan #CSP:
sumber
sumber