Mengapa menilai ketika mendefinisikan FOL?

Mengapa seseorang perlu penilaian untuk mendefinisikan semantik logika tingkat pertama? Mengapa tidak hanya mendefinisikannya untuk kalimat dan juga menentukan penggantian formula (dengan cara yang diharapkan). Itu sudah cukup:

dari pada

Sangat mungkin untuk mendefinisikan kepuasan menggunakan kalimat yang adil seperti yang Anda sarankan, dan pada kenyataannya, itu digunakan sebagai pendekatan standar untuk beberapa waktu.

Kelemahan dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan untuk mencampur objek semantik ke dalam sintaks: untuk membuat definisi induktif kepuasan kalimat dalam model , itu tidak cukup untuk menentukan untuk kalimat dari bahasa asli M . Anda harus terlebih dahulu memperluas bahasa dengan konstanta individual untuk semua elemen domain M , dan kemudian Anda dapat menentukan kepuasan untuk kalimat dalam bahasa yang diperluas. Saya percaya, inilah alasan utama mengapa pendekatan ini tidak digunakan; jika Anda menggunakan penilaian, Anda dapat mempertahankan perbedaan konseptual yang jelas antara rumus sintaksis bahasa asli dan entitas semantik yang digunakan untuk memodelkannya.$M$$M$$M$

Arti formula tertutup adalah nilai kebenaran atau ⊤ . Arti formula yang berisi variabel bebas x berkisar di atas himpunan A adalah fungsi dari A ke nilai kebenaran. Fungsi A → { ⊥ , ⊤ } membentuk aljabar Boolean yang lengkap, sehingga kita dapat memadukan logika orde pertama di dalamnya.$\bot$$\top$$x$$A$$A$$A \to \lbrace \bot, \top \rbrace$

Demikian pula, istilah tertutup menunjukkan elemen dari beberapa domain D , sedangkan istilah dengan variabel bebas menunjukkan fungsi D → D karena elemen tergantung pada nilai variabel.$t$$D$$D \to D$

Oleh karena itu wajar untuk menafsirkan rumus dengan variabel bebas x 1 , ... , x n dalam aljabar Boolean lengkap D n → { ⊥ , ⊤ } di mana D adalah domain dari rentang variabel. Apakah Anda mengucapkan interpretasi dalam aljabar Boolean lengkap dalam hal penilaian atau hal lain adalah masalah teknis.$\phi(x_1, \ldots, x_n)$$x_1, \ldots, x_n$$D^n \to \lbrace{\bot, \top\rbrace}$$D$

Matematikawan umumnya bingung tentang variabel bebas. Mereka berpikir mereka secara universal terkuantifikasi atau semacamnya. Penyebabnya adalah meta-teorema yang menyatakan bahwa dapat dibuktikan jika dan hanya jika penutupannya secara universal ∀ x . ϕ ( x ) terbukti. Tetapi ada lebih banyak formula daripada provabilitasnya. Misalnya, φ ( x ) adalah tidak umumnya setara dengan ∀ x . ϕ ( x ) , jadi kita tentu tidak bisa berpura-pura bahwa kedua formula ini dapat dipertukarkan.$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$

Untuk meringkas:

• rumus dengan variabel bebas tidak dapat dihindari, setidaknya dalam logika tingkat pertama yang biasa,
• arti formula dengan variabel bebas adalah fungsi kebenaran ,
• Oleh karena itu dalam semantik kita dipaksa untuk mempertimbangkan lengkap Boolean algebras , yang mana valuasi berasal,$D^n \to \lbrace\bot, \top\rbrace$
• penutupan universal formula tidak sama dengan formula asli,
• itu adalah kesalahan untuk menyamakan makna rumus dengan arti penutupan universal, sama seperti kesalahan untuk menyamakan fungsi dengan kodomainnya.

Hanya karena itu lebih alami untuk mengatakan " benar ketika x adalah π " (yaitu, pada penilaian yang mengirim x ke π ) daripada " x > 2 benar ketika kita mengganti π (angka itu sendiri, bukan bahasa Yunani surat) untuk x ". Secara teknis pendekatannya setara.$x > 2$$x$$\pi$$x$$\pi$$x > 2$$\pi$$x$

Saya ingin memperkuat jawaban Alexey, dan mengklaim bahwa alasannya adalah bahwa definisi pertama menderita kesulitan teknis , dan bukan hanya karena cara kedua (standar) lebih alami.

Poin Alexy adalah bahwa pendekatan pertama, yaitu:

$M \models \forall x . \phi \iff$untuk semua : M ⊨ ϕ [ x ↦ d $d \in M$$M \models \phi[x\mapsto d]$

mencampur sintaks dan semantik.

Sebagai contoh, mari kita ambil contoh Alexey:

${(0,\infty)} \models x > 2$

Maka untuk menunjukkan itu, salah satu hal yang harus kita perlihatkan adalah: $(0,\infty) \models \pi > 2$

Entitas bukan formula, kecuali bahasa kita menyertakan simbol π , yang ditafsirkan dalam model $\pi > 2$$\pi$$M$$\pi \approx 3.141\ldots$

Kasus yang lebih ekstrem adalah menunjukkan hal itu $M\models\sqrt[15]{15,000,000} > 2$$\sqrt{}$$15$$15,000,000$

Untuk memahami maksudnya, pertimbangkan apa yang terjadi ketika model yang kami miliki memiliki struktur yang lebih rumit. Misalnya, alih-alih mengambil bilangan real, ambil potongan Dedekind (implementasi khusus dari bilangan real).

$(A,B)$

$({q \in \mathbb Q | q < 0 \vee q^2 < 5}, {q \in \mathbb Q | 0 \leq q \wedge q^2 > 5}) > 2$$\sqrt{5}$$x > 2$

$[ x \mapsto t]: Terms \to Terms$

Mungkin Anda dapat mengatasi masalah teknis ini, tetapi saya rasa Anda harus bekerja sangat keras.

Pendekatan standar menjaga perbedaan antara sintaksis dan semantik. Apa yang kami ubah adalah penilaian, entitas semantik, dan menjaga sintaksis rumus.