Versi decidability yang konstruktif?

Hari ini saat makan siang, saya mengemukakan masalah ini dengan kolega saya, dan yang mengejutkan saya, argumen Jeff E. bahwa masalahnya tidak dapat meyakinkan mereka (di sini ada posting yang berkaitan erat dengan mathoverflow). Pernyataan masalah yang lebih mudah untuk dijelaskan ("adalah P = NP?") Juga dapat dipilih: ya atau tidak, dan salah satu dari dua TM yang selalu menampilkan jawaban-jawaban tersebut memutuskan masalah. Secara formal, kita dapat memutuskan set : mesin yang menghasilkan 1 hanya untuk input 1 dan sebaliknya $S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$memutuskannya, atau mesin yang melakukannya untuk input .$2$

Salah satu dari mereka mendidihkannya pada dasarnya keberatan ini: jika itu seberapa lemah kriteria decidability adalah - yang menyiratkan bahwa setiap pertanyaan yang dapat kita formalisasikan sebagai bahasa yang dapat kita tunjukkan sebagai terbatas adalah dapat ditentukan - maka kita harus memformalkan kriteria yang tidak membuat masalah dengan banyak kemungkinan jawaban yang dapat diformalkan dengan cara ini. Sementara yang berikut ini mungkin adalah kriteria yang lebih kuat, saya menyarankan bahwa mungkin ini dapat dibuat tepat dengan mensyaratkan bahwa kesesuaian harus bergantung pada kemampuan untuk menunjukkan TM, pada dasarnya mengusulkan pandangan intuitionist tentang masalah tersebut (yang tidak saya condong ke arah - juga tidak lakukan salah satu kolega saya, mereka semua menerima hukum tengah yang dikecualikan).

Sudahkah orang-orang meresmikan dan mungkin mempelajari teori konstruktif tentang kesopanan?

Saya pikir pertanyaan yang Anda coba tanyakan adalah "apakah teori komputabilitas konstruktif?". Dan ini adalah pertanyaan yang menarik, seperti yang dapat Anda lihat dalam diskusi ini di milis Yayasan Matematika.

Tidak mengherankan, telah dipertimbangkan, karena banyak teori rekursi dikembangkan oleh orang-orang dengan kepekaan yang konstruktif dan sebaliknya. Lihat misalnya buku Besson dan Pengantar Yang Mulia Metamathematics . Cukup jelas bahwa pasangan bab pertama dari teori rekursi bertahan bergerak ke pengaturan yang konstruktif dengan perubahan minimal: misalnya teorema snm, teorema Rice atau teorema rekursi Kleene bertahan tanpa perubahan.

Namun setelah bab-bab pertama, segalanya menjadi sedikit lebih sulit. Secara khusus, tingkat hierarki aritmatika yang lebih tinggi biasanya ditentukan oleh gagasan tentang kebenaran. Secara khusus, teorema yang banyak digunakan seperti Teorema Dasar Rendah tampaknya secara eksplisit tidak konstruktif.

Namun, mungkin respons yang lebih pragmatis adalah bahwa "bahasa yang dapat diperhitungkan secara paradoks" ini hanyalah keanehan, yang dapat (dan telah!) Dipelajari secara panjang lebar, seperti rangkaian real yang tidak dapat diukur, tetapi begitu kejutan awal telah terjadi. mengatasi, orang dapat beralih ke hal-hal yang lebih menarik.

Dalam logika klasik, setiap pernyataan bisa benar atau salah dalam model yang diberikan. Misalnya, pernyataan urutan pertama tentang bilangan asli adalah benar atau salah di "dunia nyata" (dikenal dalam konteks ini sebagai aritmatika benar ). Bagaimana dengan teorema ketidaklengkapan Gödel? Ini hanya menyatakan bahwa tidak ada aksioma berulang berhitung aritmatika benar lengkap.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$sampai ditemukan, dan kemudian melanjutkan. Kami dapat membuktikan bahwa mesin ini menerima bahasa Anda, meskipun kami masih tidak tahu apa sebenarnya bahasa itu!

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(Penafian, jawaban fuzzy untuk pertanyaan fuzzy yang mungkin lebih cocok di cstheory ). Konstruktivitas adalah "masalah besar" dalam matematika teoretis tetapi itu muncul terutama dalam konteks kontinu seperti paradoks Banach-Tarski semifamous . paradoks-paradoks ini umumnya tampaknya tidak muncul dalam "CS " lebih diskrit " sejauh ini" . jadi apa (analog / paralel) konstribilitas dalam CS? jawabannya sepertinya tidak begitu jelas. itu konsep yang berasal dari penelitian matematika lebih dari CS dan keduanya tampaknya tidak terikat pada inti khusus ini terlalu banyak "sejauh ini" .

satu jawaban adalah bahwa teori decidability sebenarnya tampaknya merupakan variasi pada konstrukibilitas yaitu itu adalah metode yang ketat untuk menentukan set mana yang dapat dihitung yang tampaknya berhubungan erat.

Konstruktivitas di jantung berkaitan dengan beberapa masalah "independensi dari ZFC" dan area-area tersebut dipertimbangkan panjang lebar dalam makalah ini oleh Aaronson wrt P vs NP, Apakah P vs NP independen secara formal? .

itu tidak benar-benar menunjukkan bahwa "paradoks" tampaknya mengarah ke masalah konstruktivitas, tetapi orang mungkin menganggap itu sebagai panduan kasar untuk analogi kasar seperti dalam makalah Aaronsons di mana ia menganggap eg hasil oracle yang tampaknya memiliki beberapa rasa "paradoks" di Baker khususnya Gill Solovay 1975 hasil bahwa nubuat ada baik sehingga P ^A = NP ^A dan P ^B ≠ NP ^B . seperti paradoks lainnya adalah kesenjangan Blum dan teorema speedup .

juga apakah ini hanya kebetulan bahwa CS berfokus pada fungsi - fungsi konstruktif "ruang / waktu" dalam teorema hierarki ruang / waktu? (yang kemudian mengecualikan paradoks Blum-like hampir "dengan desain" ?)

jawaban lain adalah bahwa ini sedang dalam penyelidikan / penelitian aktif misalnya seperti dalam temuan ini. Konstruktivitas diketahui terkait dengan "kardinal besar" dalam matematika: Strategi kemenangan untuk permainan tanpa batas: dari kardinal besar ke ilmu komputer / Ressayre.

Menggunakan aksioma kardinal besar dari "benda tajam" Martin membuktikan determinasi analitik: adanya strategi kemenangan untuk salah satu pemain di setiap permainan tanpa batas informasi sempurna antara dua pemain, asalkan set kemenangan salah satu pemain kebetulan merupakan analitik satu. Saya memodifikasi dan melengkapi buktinya sehingga mendapatkan bukti baru dari teorema Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington dari determinasi keadaan terbatas: keberadaan strategi kemenangan yang dihitung oleh mesin keadaan terbatas, ketika set kemenangan pemain sendiri terbatas. negara diterima.