Penutupan terhadap hasil bagi kanan dengan bahasa tetap

Saya sangat suka bantuan Anda dengan yang berikut:

Untuk setiap tetap saya perlu untuk memutuskan apakah ada penutupan di bawah operator berikut:$L_2$

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. $A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$ .

Opsi yang relevan adalah:

1. Bahasa reguler ditutup di bawah resp . , untuk bahasa apa pun$A_l$$A_r$$L_2$

2. Untuk beberapa bahasa , bahasa reguler ditutup di bawah resp. , dan untuk beberapa bahasa , bahasa reguler tidak ditutup di bawah resp . .$L_2$$A_l$$A_r$$L_2$$A_l$$A_r$

Saya percaya bahwa jawaban untuk (1) harus (2), karena ketika saya mendapatkan kata dalam dan saya dapat membuat otomat yang dapat menebak di mana beralih ke , tetapi kemudian perlu memverifikasi yang milik L 2 dan jika tidak akan biasa, bagaimana melakukannya? Jawabannya adalah (1).$w \in L$$w=xy$$x$$y$$y$$L_2$

Apa yang harus saya lakukan untuk menganalisis operator-operator itu dengan benar dan untuk menentukan apakah bahasa reguler ditutup di bawah mereka atau tidak?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu membiarkan setiap . Jadi mari kita berpikir bahwa L 2 adalah bahasa yang sangat kompleks (katakanlah, beberapa bahasa yang tidak dapat ditentukan.)$L_2$$L_2$

Mari kita mulai dari pertanyaan mudah: (pertanyaan bagian 2). Ambil L 2 menjadi tidak dapat ditentukan, dan L = { ε } . Apa yang terjadi?$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

(moral: Selalu periksa "ekstrem": kosong , L = { ε } dan L = Σ ∗ ...)$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

Sekarang untuk . Ini adalah pertanyaan yang bagus (biasanya pertanyaan bonus di Final / Pekerjaan Rumah). Memang, bahasa reguler ditutup di bawah A r untuk bahasa apa pun L 2 . Bahkan diputuskan L 2 . Keren kan?$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

Jadi bagaimana kita membangun otomat untuk jika tidak ada mesin yang menerima L 2 ?$A_r(L)$$L_2$

Di sinilah keajaiban "pemikiran abstrak", yaitu, bukti eksistensial . Jika seseorang memberi kita kita dapat menggunakan informasi ini untuk menunjukkan bahwa ada ada beberapa otomat untuk memecahkan A ( L ) . Sekarang detailnya.$L_2$$A(L)$

Kita mulai dari otomat dari (panggilan D F A L ). Asumsikan bahwa setelah pemrosesan x kita berakhir dalam keadaan q . Kami harus menerima jika ada y ∈ L 2 seperti bahwa jika kita terus dari q pengolahan y kita akan berakhir dalam keadaan final D F A L . Tidak ada mesin yang bisa memberi tahu kita jika y ada di L 2 , tapi kita bisa membuat q status akhir dari D F A A $L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$jika kondisi di atas berlaku, yaitu, jika ada beberapa sehingga jika kita mulai dari q dan proses y kita berakhir dalam keadaan final D F A L .$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

jadi untuk membangun kita memeriksa masing-masing negara bagian D F A L dan membuat masing-masing negara q keadaan menerima jika kita dapat mengambil beberapa y ∈ L 2 dan ini y akan membawa kita dari q ke keadaan menerima D F A L .$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

Jadi ok, tidak terbatas, dan kita mungkin tidak memiliki komputer untuk mendaftar semua kata dalam L 2 , tetapi semua ini tidak masalah ... otomat di atas didefinisikan dengan baik, bahkan jika saya tidak dapat menggambarnya Anda negara bagian demi negara. Sihir.$L_2$$L_2$

Saya tidak yakin apakah Anda mencari jawaban untuk masalah tersebut atau tidak, jadi saya tidak memberikannya secara langsung. (Aku bisa jika kamu menginginkannya.)

Kamu bertanya:

Apa yang harus saya lakukan untuk menganalisis operator-operator itu dengan benar dan untuk menentukan apakah bahasa reguler ditutup di bawah mereka atau tidak?

Pendekatan awal Anda bagus. Seperti dengan semua pertanyaan teori "terbuka", Anda harus mendapatkan perasaan intuitif apakah itu benar atau tidak. Biasanya ini adalah dengan mencoba contoh-contoh (umum dan tepi-kasus) atau menyelidiki kasus-kasus khusus (misalnya bagaimana jika teratur? Bebas konteks?). Untuk masalah ini, Anda perlu mengembangkan beberapa dugaan apakah Anda dapat membangun otomat / regex untuk operator atau tidak. Setelah itu:$L_2$

• Jika Anda berpikir bahwa Anda bisa, Anda harus mampu membangun ini otomat / regex untuk setiap bahasa masukan biasa .$L$
• Jika Anda berpikir tidak bisa, Anda biasanya akan menemukan contoh bahasa dan L 2 sehingga A x tidak ditutup.$L$$L_2$$A_x$

(dan jika satu pendekatan tidak berhasil, Anda selalu dapat mencoba yang lain.)

Untuk masalah itu sendiri:

Keduanya adalah operator hasil bagi yang tepat. (Saya percaya hasil bagi kiri melibatkan meninggalkan postfix bukan awalan.) Perbedaan antara keduanya adalah bahwa sementara A r ( L ) = L / L 2 , di mana L 2 diperbaiki di keduanya.$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

Anda memiliki intuisi tentang , jadi inilah sesuatu untuk dipikirkan untuk A l : A l memberikan versi modifikasi dari L 2 . Karena L 2 bisa jadi tidak teratur, apakah mungkin A l membiarkan L 2 tidak berubah? Jika demikian, maka A l tidak teratur dalam kasus itu. Kalau tidak, kita harus berpendapat bahwa A l membuat L 2 teratur dalam semua kasus.$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$