Apa itu Transformasi Affine?

Apa itu Affine Tranformations? Apakah mereka berlaku hanya untuk titik atau bentuk lain juga? Apa artinya mereka bisa "dikomposisi"?

Transformasi Affine adalah Transformasi Linier + Vektor Terjemahan.

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

Ini dapat diterapkan pada poin individu atau garis atau bahkan kurva Bezier. Untuk garis, ini mempertahankan properti yang garis paralelnya tetap paralel. Untuk kurva Bezier, ini mempertahankan properti cembung dari titik kontrol.

Digandakan, menghasilkan 2 persamaan untuk menghasilkan pasangan koordinat "yang diubah" $(x', y')$ dari pasangan asli dan daftar konstanta . ( a , b , c , d , e , f ) x ′ = a ⋅ x + c ⋅ y + $(x, y)$$(a, b, c, d, e, f)$

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

Secara mudah, transformasi Linear dan vektor Terjemahan dapat disatukan menjadi matriks 3D yang dapat beroperasi melalui koordinat homogen 2D.

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

Yang menghasilkan 2 persamaan yang sama di atas.

Sangat mudah , matriks itu sendiri dapat dikalikan bersama untuk menghasilkan matriks ketiga (konstanta) yang melakukan transformasi yang sama seperti yang asli 2 akan lakukan secara berurutan. Sederhananya, perkalian matriks adalah asosiatif.

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

Atau Anda dapat mempertimbangkan beberapa tipe transformasi dasar dan menyusun transformasi yang lebih kompleks dengan menggabungkan ini (mengalikannya bersama-sama).

Transformasi identitas

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Scaling

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

* Catatan: refleksi dapat dilakukan dengan parameter penskalaan atau .$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

Terjemahan

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

Miring x demi y

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Miring y oleh x

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Rotasi

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[Catatan saya telah menunjukkan bentuk Matrix di sini yang menerima vektor baris di sebelah kiri . Transpos matriks ini akan bekerja dengan vektor kolom di sebelah kanan.]

Matriks yang tersusun murni dari penskalaan, rotasi, dan terjemahan dapat diuraikan kembali menjadi tiga komponen ini .