Apa itu Ultraradikal

The ultraradical , atau Bawa radikal, dari sejumlah nyata $a$ didefinisikan sebagai akar hanya nyata dari quintic persamaan .$x^5+x+a=0$

Di sini kita menggunakan untuk menunjukkan fungsi ultraradikal. Misalnya, , karena .$UR(\cdot)$$UR(-100010)=10$$10^5+10-100010=0$

Tantangan

Tulis sebuah program atau fungsi lengkap, yang menggunakan bilangan real sebagai input, dan mengembalikan atau menampilkan ultraradikalnya.

Persyaratan

Tidak ada celah standar yang diizinkan. Hasil untuk kasus uji di bawah ini harus akurat hingga setidaknya 6 digit signifikan, tetapi secara umum program harus menghitung nilai yang sesuai untuk setiap input bilangan real yang valid.

Uji Kasus

9 tempat desimal dibulatkan ke 0 diberikan untuk referensi. Penjelasan ditambahkan untuk beberapa kasus uji.

 a                         | UR(a)
---------------------------+---------------------
             0             |   0.000 000 000        # 0
             1             |  -0.754 877 (666)      # UR(a) < 0 when a > 0
            -1             |   0.754 877 (666)      # UR(a) > 0 when a < 0
             1.414 213 562 |  -0.881 616 (566)      # UR(sqrt(2))
            -2.718 281 828 |   1.100 93(2 665)      # UR(-e)
             3.141 592 653 |  -1.147 96(5 385)      # UR(pi)
            -9.515 716 566 |   1.515 71(6 566)      # 5th root of 8, fractional parts should match
            10             |  -1.533 01(2 798)
          -100             |   2.499 20(3 570)
         1 000             |  -3.977 89(9 393)
      -100 010             |  10.000 0(00 000)      # a = (-10)^5 + (-10)
 1 073 741 888             | -64.000 0(00 000)      # a = 64^5 + 64

Kriteria Menang

Pengajuan terpendek yang valid dalam setiap bahasa akan menang.

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 20 byte

Root[xx^5+x+#,1]&

Cobalah online!

Masih built-in, tapi setidaknya tidak UltraRadical.

(karakter ditampilkan seperti |->di Mathematica, mirip dengan =>di JS)

Python 3.8 (pra-rilis) , 60 byte

f=lambda n,x=0:x!=(a:=x-(x**5+x+n)/(5*x**4+1))and f(n,a)or a

Cobalah online!

Metode iterasi Newton. $x' = x - \frac {f(x)} {f'(x)} = x - \frac {x^5+x+n} {5x^4+1}$

Saat menggunakan $\frac {4x^5-n} {5x^4+1}$ secara matematis setara, itu membuat loop program selamanya.

Pendekatan lain:

Python 3.8 (pra-rilis) , 102 byte

lambda x:a(x,-x*x-1,x*x+1)
a=lambda x,l,r:r<l+1e-9and l or(m:=(l+r)/2)**5+m+x>0and a(x,l,m)or a(x,m,r)

Cobalah online!

Pencarian biner, mengingat bahwa fungsinya x^5+x+ameningkat. Atur batas ke -abs(x)dan abs(x)cukup tetapi -x*x-1dan x*x+1lebih pendek.

Batas rekursi BTW Python agak terlalu rendah sehingga perlu memiliki 1e-9, dan :=itu disebut operator walrus.

JavaScript (ES7), 44 byte

Versi yang lebih aman menggunakan rumus yang sama seperti di bawah ini tetapi dengan jumlah iterasi yang tetap.

n=>(i=1e3,g=x=>i--?g(.8*x-n/(5*x**4+5)):x)``

Cobalah online!

JavaScript (ES7),  43  42 byte

Metode Newton, menggunakan $5x^4+5$ sebagai pendekatan $f'(x)=5x^4+1$ .

n=>(g=x=>x-(x-=(x+n/(x**4+1))/5)?g(x):x)``

Cobalah online!

Bagaimana?

Kita mulai dengan $x_0=0$ dan menghitung secara rekursif:

sampai $x_k-x_{k+1}$ tidak signifikan.

Jelly , 8 byte

;17B¤ÆrḢ

Cobalah online!

Bagaimana itu bekerja:

• Membangun daftar [a, 1, 0, 0, 0, 1]dengan menambahkan ake representasi biner dari 17. Kenapa daftar ini? Karena sesuai dengan koefisien yang kami cari:

  [a, 1, 0, 0, 0, 1] -> P(x) := a + 1*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 + 1*x^5 = a + x + x^5
  

• Kemudian, Æradalah built-in yang memecahkan persamaan polinomial P(x) = 0, diberi daftar koefisien (apa yang kami bangun sebelumnya).

• Kami hanya tertarik pada solusi nyata, jadi kami mengambil entri pertama dalam daftar solusi Ḣ.

APL (Dyalog Unicode) , 11 10 byte ^SBCS

-1 berkat dzaima

Fungsi awalan diam-diam anonim.

(--*∘5)⍣¯1

Cobalah online!

(... )⍣¯1 terapkan fungsi tacit berikut negatif satu kali:

 - argumen yang dinegasikan

 - minus

 *∘5 argumen yang diangkat menjadi kekuatan 5

Intinya, ini bertanya: x mana yang harus saya beri makan ke f ( x ) = - x - x 5 sehingga hasilnya menjadi y .$x$$f(x)=-x-x^5$$y$

R , 43 byte

function(a)nlm(function(x)abs(x^5+x+a),a)$e

Cobalah online!

nlm$x\mapsto |x^5+x+a|$nlma

R , 56 byte

function(x)(y=polyroot(c(x,1,0,0,0,1)))[abs(Im(y))<1e-9]

Cobalah online!

polyroot$a$polyroot

J , 14 byte

{:@;@p.@,#:@17

Cobalah online!

J memiliki built in untuk memecahkan polinomial ... p.

Batas waktu 4 kasus uji terakhir pada TIO, tetapi secara teori masih benar.

bagaimana

Koefisien polinomial untuk builtin J diambil sebagai daftar numerik, dengan koefisien untuk yang x^0pertama. Ini artinya daftarnya adalah:

a 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1adalah 17 dalam biner, jadi kami menyatakannya sebagai #:@17, lalu tambahkan input ,, lalu terapkan p., lalu hapus kotak hasilnya dengan raze ;, lalu ambil elemen terakhir{:

Ruby , 53 41 byte

->a{x=a/=5;99.times{x-=a/(x**4+1)+x/5};x}

Cobalah online!

Menggunakan Newton-Raphson dengan jumlah iterasi yang tetap, dan trik aproksimasi yang sama seperti Arnauld

Pari / GP , 34 32 26 24 byte

a->-solve(X=0,a,a-X-X^5)

Cobalah online!

05AB1E , 12 byte

ΔyIy4m>/+5/-

Cobalah online!

Metode Newton.

k4, 33 31 byte

{{y-(x+y+*/5#y)%5+5*/4#y}[x]/x}

newton-raphson dihitung secara iteratif hingga suatu angka terkonvergensi

sunting: -2 terima kasih kepada ngn!

wah, salah semua ini ...

K (oK), 10 byte

{-x+*/5#x}

Pari / GP , 24 byte

a->polrootsreal(x^5+x+a)

Cobalah online!

C, 118b / 96b

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a,t=1;while(fabs(t)>1e-6){t=x*x*x*x;t=(x*t+x+a)/(5*t+1);x-=t;}return x;}

118 byte dengan nama fungsi asli dan dengan akurasi ekstra (ganda). Dengan sedikit peretasan mungkin lebih baik, tetapi tidak dapat digunakan.

96 byte dengan iterasi tetap.

double ur(double a){double x=a,t;for(int k=0;k<99;k++){t=x*x*x*x;x=(4*x*t-a)/(5*t+1);}return x;}

Sebenarnya, fungsi kita sangat baik sehingga kita dapat menggunakan adaptasi yang lebih baik dari metode Newton. Implementasi yang jauh lebih cepat dan praktis (150 byte)

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a/5,f=1,t;while(fabs(f)>1e-6){t=x*x*x*x;f=(t*(5*t*x+5*a+6*x)+a+x)/(15*t*t-10*a*x*x*x+1);x-=f;}return x;}

Saya memeriksanya, tapi saya terlalu malas untuk mengetahui seberapa cepat itu. Harus setidaknya satu urutan lebih cepat daripada Newton.

Bersih , 61 60 byte

import StdEnv
$a=iter 99(\x=(3.0*x^5.0-a)/inc(4.0*x^4.0))0.0

Cobalah online!

Metode Newton, pertama kali diterapkan di jawaban user202729 .

Bersihkan , 124 byte

import StdEnv
$a= ?a(~a)with@x=abs(x^5.0+x+a);?u v|u-d==u=u|v+d==v=v= ?(u+if(@u< @v)0.0d)(v-if(@u> @v)0.0d)where d=(v-u)/3E1

Cobalah online!

Pencarian "biner", mempersempit area pencarian ke atas atau bawah 99,6% dari rentang antara batas tinggi dan rendah pada setiap iterasi, bukannya 50%.

Python 3 + sympy, 72 byte

lambda y:float(sympy.poly("x**5+x+"+str(y)).all_roots()[0])
import sympy

Cobalah online!

Oktaf , 25 byte

@(a)fzero(@(x)x^5+x+a,-a)

Cobalah online!

Maplesoft Maple , 23 byte

f:=a->fsolve(x^5+x+a=0)

Sayangnya, tidak ada kompiler / kalkulator Maple online di luar sana AFAIK. Tetapi kodenya cukup mudah.