Sebuah urutan arithmetico-geometris adalah produk elementwise dari urutan aritmatika dan barisan geometri. Sebagai contoh, 1 -4 12 -32adalah produk dari deret aritmatika 1 2 3 4dan deret geometri 1 -2 4 -8. Istilah ke-n dari barisan deret arithmetico-geometric dapat dinyatakan sebagai

$$a_n = r^n \cdot (a_0 + nd)$$

untuk beberapa bilangan real , bukan nol nyata , dan integer . Perhatikan bahwa dan tidak harus bilangan bulat.$d$$r$$a_0$$r$$d$

Misalnya, urutannya 2 11 36 100 256 624 1472 3392memiliki , , dan .$a_0 = 2$$r = 2$$d = 3.5$

Memasukkan

Daftar integer dipesan sebagai input dalam format apa pun yang wajar. Karena beberapa definisi urutan geometri memungkinkan dan menentukan , apakah input adalah urutan aritmetico-geometrik tidak akan bergantung pada apakah dibolehkan menjadi 0. Misalnya, tidak akan muncul sebagai input.$n \ge 2$$r=0$$0^0 = 1$$r$123 0 0 0 0

Keluaran

Apakah itu urutan arithmetico-geometric. Keluarkan nilai kebenaran / kepalsuan, atau dua nilai konsisten yang berbeda.

Uji kasus

Benar:

1 -4 12 -32
0 0 0
-192 0 432 -1296 2916 -5832 10935 -19683
2 11 36 100 256 624 1472 3392
-4374 729 972 567 270 117 48 19
24601 1337 42
0 -2718
-1 -1 0 4 16
2 4 8 16 32 64
2 3 4 5 6 7
0 2 8 24

Salah:

4 8 15 16 23 42
3 1 4 1
24601 42 1337
0 0 0 1
0 0 1 0 0
1 -1 0 4 16

Perl 6 , 184 128 135 byte

{3>$_||->\x,\y,\z{?grep ->\r{min (x,{r&&r*$_+(y/r -x)*($×=r)}...*)Z==$_},x??map (y+*×sqrt(y²-x*z).narrow)/x,1,-1!!y&&z/y/2}(|.[^3])}

Cobalah online!

Menghitung dan dari tiga elemen pertama dan memeriksa apakah urutan yang dihasilkan cocok dengan input. Sayangnya, Rakudo melempar pengecualian ketika membaginya dengan nol, bahkan ketika menggunakan angka floating-point, biaya ~ 9 byte.$r$$d$

Menghitung urutan menggunakan .$a_n=r \cdot a_{n-1}+r^n \cdot d$

Beberapa peningkatan diilhami oleh jawaban JavaScript Arnauld.

Penjelasan

3>$_||  # Return true if there are less than three elements

->\x,\y,\z{ ... }(|.[^3])}  # Bind x,y,z to first three elements

# Candidates for r
x  # If x != 0
??map (y+*×sqrt(y²-x*z).narrow)/x,1,-1  # then solutions of quadratic equation
!!y&&z/y/2  # else solution of linear equation or 0 if y==0

?grep ->\r{ ... },  # Is there an r for which the following is true?

    ( ,                         ...*)  # Create infinite sequence
     x  # Start with x
       {                       }  # Compute next term
        r&&  # 0 if r==0
                (y/r -x)  # d
           r*$_  # r*a(n-1)
                          ($×=r)  # r^n
                +        *  # r*a(n-1)+d*r^n
                                     Z==$_  # Compare with each element of input
min  # All elements are equal?

JavaScript (ES7), 135 127 byte

a=>!([x,y,z]=a,1/z)|!a.some(n=>n)|[y/x+(d=(y*y-x*z)**.5/x),y/x-d,z/y/2].some(r=>a.every((v,n)=>(v-(x+n*y/r-n*x)*r**n)**2<1e-9))

Cobalah online!

Bagaimana?

Kami menggunakan dua tes pendahuluan untuk menyingkirkan beberapa kasus khusus. Untuk kasus utama, kami mencoba tiga kemungkinan nilai (dan nilai yang sesuai dari , yang dapat dengan mudah dideduksi) dan menguji apakah semua syarat dari urutan input cocok dengan yang diperkirakan. Karena kesalahan pembulatan potensial, kami benar-benar menguji apakah semua perbedaan kuadrat .$r$$d$$<10^{-9}$

Kasus khusus # 1: kurang dari 3 istilah

Jika ada kurang dari 3 istilah, selalu mungkin untuk menemukan urutan yang cocok. Jadi kami memaksakan nilai kebenaran.

Kasus khusus # 2: hanya nol

Jika semua istilah sama dengan , kita bisa menggunakan , dan . Jadi kami memaksakan nilai kebenaran.$0$$a_0=0$$d=0$$r\neq 0$

Kasus utama dengan$a_0=0$

Jika , urutannya dapat disederhanakan menjadi:$a_0=0$

$$a_n=r^n\times n\times d$$

Pemberian yang mana:

$$a_1=r\times d\\ a_2=2r^2\times d$$

Kita tahu bahwa tidak sama dengan (jika tidak, kita akan berada dalam kasus khusus # 2). Jadi kita punya dan:$d$$0$$a_1\neq 0$

$$r=\frac{a_2}{2a_1}$$

utama dengan$a_0\neq 0$

Kami memiliki hubungan berikut antara dan :$a_{n+1}$$a_n$

$$a_{n+1}=r.a_n+r^{n+1}d$$

Untuk , kami memiliki:$a_{n+2}$

$$\begin{align}a_{n+2}&=r.a_{n+1}+r^{n+2}d\\ &=r(r.a_n+r^{n+1}d)+r^{n+2}d\\ &=r^2a_n+2r.r^{n+1}d\\ &=r^2a_n+2r(a_{n+1}-r.a_n)\\ &=-r^2a_n+2r.a_{n+1} \end{align}$$

Kami terutama memiliki:

$$a_2=-r^2a_0+2r.a_1$$

Menuju kuadrat berikut:

$$r^2a_0-2r.a_1+a_2=0$$

Akar siapa adalah:

$$r_0=\frac{a_1+\sqrt{{a_1}^2-a_0a_2}}{a_0}\\ r_1=\frac{a_1-\sqrt{{a_1}^2-a_0a_2}}{a_0}$$

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 55 byte

{}!=Solve[i=Range@Tr[1^#];(a+i*d)r^i==#,{r,a,d},Reals]&

Cobalah online!

Solvekembalikan semua bentuk solusi. Hasilnya dibandingkan dengan {}untuk memeriksa apakah ada solusi.