Bagaimana Kepler “menebak” hukum ketiganya dari data?

21

Sungguh menakjubkan bahwa Kepler menentukan tiga hukumnya dengan melihat data, tanpa kalkulator dan hanya menggunakan pena dan kertas. Bisa dibayangkan bagaimana dia membuktikan hukumnya mendeskripsikan data setelah dia memperkirakannya, tetapi yang saya tidak mengerti adalah bagaimana dia menebaknya sejak awal.

Saya akan fokus khususnya pada hukum ketiga Kepler, yang menyatakan bahwa kuadrat dari periode orbit sebuah planet sebanding dengan kubus sumbu semi-mayor orbit.

Saya berasumsi bahwa Kepler bekerja dengan data tentang planet saja, ditambah bulan kita sendiri, dan matahari. Saya membuat asumsi ini karena saya pikir Kepler tidak memiliki data tentang bulan, komet, atau asteroid lain, yang belum diamati oleh teleskop. Jika ini benar, mengetahui bahwa Neptunus, Uranus, dan Pluto belum ditemukan ketika Kepler masih hidup, ini berarti Kepler memiliki kurang dari 9 titik data untuk dikerjakan.

Teman saya mengklaim bahwa benar-benar dapat dipahami bagaimana Kepler menebak hubungan ini (meskipun dia tidak memberikan metode bagaimana Kepler mungkin melakukannya), dan juga bahwa pengamatan Kepler "tidak terlalu sulit". Sebagai tantangan, saya memberi teman saya tabel data dengan satu kolom berlabel , y lainnya , dan 9 koordinat ( x , y ) yang sesuai dengan hubungan x 4 = y 3 . Saya berkata "tolong temukan hubungan antara x dan y ", dan seperti yang Anda duga dia gagal melakukannya.xy(x,y)x4=y3xy

Tolong jelaskan kepada saya bagaimana di dunia Kepler menebak hubungan ini bekerja dengan sedikit poin data. Dan jika asumsi saya bahwa jumlah titik data yang dimiliki Kepler kecil, itu salah, maka saya masih berpikir cukup sulit untuk menebak hubungan ini tanpa kalkulator.

Joshua Benabou
sumber
2
Dia hanya menggunakan data tentang Mars. Bosnya, Tycho Brahe, menyuruhnya mencari tahu gerak mundur Mars sekali dan untuk selamanya. Dan dia melakukannya dengan fantastis. Hukum ketiga datang dari pola astrologisnya yang pas di Harmonices Mundi. Dan dia punya cukup data untuk menyelesaikan masalah geometris ini. Lebih banyak data tidak akan membantunya. Dia sebenarnya hanya memilih sebagian dari oposisi Mars yang telah diamati Tycho Brahe.
LocalFluff
2
Diposting silang pada Fisika dan kemudian dimigrasikan ke HSM .
HDE 226868
Kepler memiliki banyak data untuk mendapatkan hukum pertamanya dan kedua, yang masing-masing berlaku untuk satu planet pada satu waktu, tetapi hukum ketiganya adalah binatang yang sama sekali berbeda. Ini menghubungkan karakteristik orbit dari planet yang berbeda satu sama lain. Tidak peduli berapa banyak data yang dikumpulkan Tycho, hanya ada enam planet (menghitung Bumi tetapi tidak menghitung Matahari atau Bulan), dan karakteristik orbitnya tidak diamati sebanyak yang dihitung (susah payah) oleh Kepler. Enam poin, masing-masing dengan margin kesalahan yang tinggi, cukup untuk menunjukkan hubungan linier, tetapi hampir tidak.
ganbustein
@LocalFluff: Saya sudah membaca bahwa Kepler pada dasarnya hanya menggunakan data tentang Mars. Tetapi mengingat hukum ketiga menyatakan hubungan antara periode orbit satelit yang berbeda , bagaimana mungkin dia bisa melakukan itu, tidak peduli berapa banyak informasi tentang Mars saja yang dia miliki?
Marc van Leeuwen
@MarcvanLeeuwen Saya pikir itu turun ke pandangan fisik barunya. Bahwa seperangkat hukum alam yang sama secara universal memandu semua gerakan. Yang lain kemudian melakukan perhitungan yang melelahkan untuk mengkonfirmasi ini untuk semua planet dan Bulan, dan Halley untuk sebuah komet, tentunya sudah ada di abad ke-17. Hanya orbit Merkurius yang tidak sesuai karena efek relativistik yang halus.
LocalFluff

Jawaban:

24

Hukum ketiga Kepler adalah sepele (menurut saya) dibandingkan dengan hukum pertamanya. Saya cukup terkesan bahwa dia dapat menyimpulkan bahwa orbitnya adalah elips. Untuk mendapatkan itu, ia harus bolak-balik merencanakan arah Mars dari Bumi dan arah Bumi dari Mars. Dia tahu panjangnya tahun kedua planet, jadi pengamatan yang dilakukan selama satu tahun Mars akan berbeda hanya karena Bumi telah bergerak.

Tapi mungkin tidak sepele. Dia menerbitkan dua undang-undang pertamanya pada 1609. Hukum ketiga tidak muncul sampai sepuluh tahun kemudian, pada 1619. Dengan sepuluh tahun untuk mengerjakannya, bahkan hubungan yang paling tidak jelas akhirnya akan ditemukan.

x4=y33/4

Waktunya tepat. Napier menerbitkan bukunya tentang logaritma pada tahun 1614. Kepler mungkin akan menggunakan alat matematika baru yang mengkilap ini pada data lamanya yang kasar.

Hambatan utama adalah bahwa pada saat itu hanya ada enam planet yang diketahui, jadi dia tidak memiliki banyak titik data, dan yang dia miliki tidak berarti tepat.

Masalah lain Kepler adalah bahwa tidak ada hukumnya yang masuk akal baginya. Mereka cocok dengan data, tetapi dia tidak tahu mengapa. Dia tidak memiliki hukum gerak Newton untuk bekerja, dia tidak memiliki pemahaman tentang kekuatan, momentum, momentum sudut, dan tentu saja tidak gravitasi. Sejauh yang dia tahu, planet-planet bergerak dengan cara yang mereka lakukan karena Tuhan yang menentukannya, dan para malaikat ditugaskan mendorong planet-planet di sepanjang orbitnya. Planet-planet luar bergerak lebih lambat karena didorong oleh malaikat yang lebih rendah.

(Feynman berkomentar bahwa kita jauh lebih mengerti sekarang. Kita sekarang tahu bahwa para malaikat berada di luar mendorong masuk ke Matahari.)

Ganbustein
sumber
Meskipun saya bukan sarjana karya Kepler, AFAIK atribusi penjelasan malaikat untuk Kepler adalah rekayasa lengkap. Apakah Anda memiliki referensi untuk ini yang ditulis oleh Kepler atau yang secara langsung mengutip Kepler?
Stan Liou
1
Kepler sebenarnya mencoba membuat magnet (kemudian populer karena William Gilbert) menjelaskan pergerakan planet di sekitar Matahari. Inilah yang merupakan dasar ilmu fisika. Dia meninggalkan para malaikat di gereja. Dan dia hanya menggunakan data terpilih tentang Mars, dan memiliki lebih banyak data daripada yang bisa dia tangani. Data Besar waktunya. Kurangnya data sama sekali bukan masalahnya.
LocalFluff
Memang, Caspar p. 67: "Ini adalah pemikiran baru bahwa di bawah sinar matahari terdapat kekuatan yang menghasilkan gerakan planet, dan yang jauh lebih lemah, semakin jauh planet ini dihilangkan dari sumber kekuatan. Yang pasti, dalam bukunya buku dia berbicara tentang 'anima motrix,' jiwa yang bergerak; tetapi sudah dalam surat periode ini dia menggunakan kata 'semangat,' kekuatan. " Tapi motrix anima bukanlah malaikat ... ini artikel wikipedia Jerman pada motrix anima juga menarik.
Stan Liou
@StanLiou Ya, kita harus mengingat konteks kata-katanya. "Jiwa" adalah kata untuk kekuatan. Sama seperti kita hari ini menggunakan kata-kata sederhana untuk fenomena alam dan pertanian untuk menggambarkan masyarakat teknologi kita: ladang (gandum), jaring (penangkapan ikan), jaring (sungai) saat ini. Bahkan istilah baru keluar sebagai "cloud". Kami tidak bermaksud secara harfiah, kata "jiwa" juga tidak selalu berarti secara harfiah. Seorang petani abad pertengahan mungkin sangat bingung dengan buku teks tentang elektronik!
LocalFluff
@LocalFluff Ya, untuk membuat perbandingan yang akrab, nama asli energi kinetik adalah vis viva ('kekuatan hidup'), istilah yang diadopsi dari tradisi sebelumnya tetapi tidak mengacu pada kehidupan literal. Istilah itu sendiri masih bertahan sampai hari ini di mekanika orbital juga.
Stan Liou
29

Catatan Kepler tentang bagaimana hukum ketiga muncul adalah sebagai berikut (Caspar hal.286; penekanan pada saya):

Pada 8 Maret tahun ini 1618, jika informasi yang tepat tentang waktu diinginkan, itu muncul di kepalaku. Tapi saya tidak beruntung ketika saya memasukkannya ke dalam perhitungan, dan menolaknya sebagai salah. Akhirnya, pada tanggal 15 Mei, datang lagi dan dengan onset baru menaklukkan kegelapan pikiran saya, di mana di sana mengikuti kesepakatan yang sangat baik antara tujuh belas tahun saya bekerja di pengamatan Tychonic dan pertimbangan saya saat ini sehingga saya awalnya percaya bahwa saya memiliki bermimpi dan menganggap yang dicari dalam bukti pendukung. Tetapi sepenuhnya pasti dan tepat bahwa proporsi antara waktu periodik dari dua planet mana pun persis satu setengah kali proporsi jarak rata-rata .

Meskipun Kepler sebenarnya tidak menggambarkan inspirasi yang membuatnya percaya ini, ungkapan penasaran memberikan petunjuk yang sangat kuat ketika dikombinasikan dengan beberapa informasi latar belakang biografi:

  1. John Napier menerbitkan Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto pada tahun 1614, yang berisi penemuan logaritma yang baru. Kepler menyadari pekerjaan Napier pada 1617 (Caspar hal. 308), mungkin sebelumnya.
  2. Joost Bürgi menerbitkan karya tentang logaritma hampir bersamaan dengan Napier, dan Kepler juga mengetahui tentang Bürgi, bahkan memuji kemampuan matematikanya sebagai yang melampaui sebagian besar profesor matematika.

Dengan demikian, pernyataan Kepler setara dengan mengatakan bahwa data membuat kemiringan 1,5 pada grafik log-log, yang merupakan hubungan linier yang sangat sederhana pada skala ini.


Referensi:

  1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).
Stan Liou
sumber
Menarik bahwa dia menyebutkan jarak rata - rata .
CodesInChaos