Akselerasi gravitasi di dalam sebuah planet

Percepatan gravitasi, g, di dalam Bumi umumnya berkurang dengan berkurangnya jarak ke pusat:

Namun, tampaknya untuk Jupiter, percepatan gravitasi hanya meningkat dengan semakin berkurangnya jarak ke pusatnya. Kenapa ini?

Anda dapat menggunakan hukum Gauss untuk gravitasi untuk mengetahui gravitasi sebagai fungsi jari-jari (bagian dalam).

$$\oint \vec{g} \cdot d\vec{A} = -4\pi G \int \rho\ dV\ .$$ Apa ini artinya adalah fluks medan gravitasi $\vec{g}$ keluar dari permukaan tertutup sebanding dengan massa yang tertutup dalam permukaan itu.

Mari kita asumsikan bahwa kepadatan adalah fungsi jari-jari (interior), sedemikian rupa $\rho = Ar^{\alpha}$ dan bahwa planet ini sysmmetric bulat, sehingga sisi kiri menjadi $4 \pi r^2 g(r)$ dan elemen volume $dV = 4\pi r^2\ dr$. Kemudian

$$4 \pi r^2 g(r) = -4\pi G \int_{r=0}^{r} Ar^{\alpha} 4\pi r^2\ dr$$ selama $\alpha \neq -3$. $$r^2 g(r) = - 4\pi G \frac{Ar^{3+\alpha}}{3+\alpha}$$ $$g(r) = -\frac{4\pi GA }{3+\alpha} r^{1+\alpha}$$ Apa ini menunjukkan, apakah itu jika $\alpha < -1$, maka gravitasi akan meningkat dengan jari-jari menurun.

Sekarang kami berada dalam posisi untuk menjawab pertanyaan Anda. Di bagian dalam bumi$\alpha \simeq 0$dan kepadatannya tidak bertambah besar saat kita menuju pusat. Ini artinya$g(r) \propto r$seperti yang terlihat di plot referensi Anda. Di bagian luar kerak bumi$\alpha \simeq -1$ dan $g(r)$ kira-kira konstan.

Di bawah ini adalah profil kepadatan model untuk Jupiter (garis padat).

Hanya dengan melihat ini saya akan mengatakan itu $\alpha$ hanya sedikit $<-1$untuk sebagian besar interior dan gravitasi harus meningkat perlahan$r$ berkurang, tetapi ada peningkatan tajam dalam kepadatan di batas ke inti yang akan melihat $\alpha \ll -1$ dan gravitasi menjadi sebanding dengan $r$ untuk kekuatan angka negatif (yaitu meningkat dengan kuat dengan menurun $r$), tetapi kemudian harus turun ke$g=0$ kapan $r=0$ tidak lama setelah itu.

Jawaban singkatnya karena Jupiter adalah raksasa gas, sehingga memiliki atmosfer yang sangat besar dan atmosfernya tidak terlalu padat. Juga, jika Anda melihat grafik Anda, gravitasi di dalam Bumi meningkat hingga Anda mencapai inti luar. Ini mungkin jauh lebih jelas pada benda-benda gas seperti raksasa gas dan bintang.

Jawaban yang lebih panjang:

Dalam istilah awam, jika kita menggunakan teorema cangkang Newton , Anda dapat mengabaikan massa "di atas" Anda karena cangkang materi dengan jarak yang lebih besar dari titik pusat daripada Anda memiliki efek gravitasi mendekati nol pada diri Anda. Secara teknis itu adalah sekumpulan massa di sekitar Anda, tetapi saya akan menyebutnya "di atas" karena lebih mudah untuk mengatakannya.

Alhasil, melihat medan gravitasi, Anda bisa saja memperhitungkan massa di bawah Anda dan jari-jari dan mengabaikan cangkang di atas Anda.

Jika, misalnya, Anda terowongan 10% ke sebuah planet, menggunakan hukum kubus, 72,9% dari volume planet di bawah Anda, tetapi Anda 11,1% lebih dekat ke pusat, menggunakan hukum kuadrat terbalik, itu 23,4% lebih besar tarikan gravitasi dari 72,9% planet yang tersisa di bawah Anda daripada yang Anda dapatkan dari 72,9% itu jika Anda berada di permukaan planet.

Jika 72,9% planet di bawah Anda memiliki bobot lebih dari 81% dari massa planet, maka gravitasi meningkat. Katakanlah beratnya persis 81%. 81% dari massa x tarikan 1,234 lebih besar pada 10% lebih dekat bekerja persis sama. Dengan kata lain, jika massa di atas Anda cukup ringan, maka gravitasi meningkat ketika Anda terowongan atau jatuh di dalam sebuah planet. Kemungkinan ada rasio logaritmik yang cukup sederhana antara rasio kepadatan dan di mana gravitasi berhenti meningkat. Jika saya bisa menyelesaikannya, saya akan mempostingnya.

Dalam kasus Yupiter dan mulai dekat khatulistiwa, dengan rotasi cepat Yupiter, itu harus diperhitungkan juga. Dalam kasus Bumi, rotasi Bumi dapat diabaikan relatif terhadap gravitasinya dan dapat diabaikan kecuali jika Anda menginginkan akurasi tinggi.

Dengan benda-benda planet, kepadatan dapat memainkan peran yang lebih besar daripada massa mengenai gravitasi permukaan. Merkuri, misalnya, adalah sekitar 52% massa Mars, tetapi 38% lebih padat , yang memungkinkannya memiliki tarikan gravitasi yang sedikit lebih tinggi di permukaannya daripada Mars.

Dua orang menunjukkan bahwa mereka tidak yakin gravitasi benar-benar meningkat di dalam Jupiter. Saya yakin itu terjadi karena kepadatan jauh di dalam Jupiter kemungkinan meningkat secara signifikan. Kita tidak dapat melihat dengan baik bagian dalam Jupiter, sehingga angka yang tepat tidak mungkin, tetapi tampaknya sangat mungkin bagi saya bahwa gravitasi meningkat jauh di dalam Jupiter, hanya mulai berkurang ketika inti mencapai kerapatan yang cukup besar.

Mayoritas lapisan luar Jupiter adalah hidrogen dan hidrogen, bahkan di bawah tekanan yang sangat tinggi, tidak terlalu padat. Pada 700 atm, misalnya, dan suhu Bumi, bukan suhu panas jauh di dalam Jupiter, Hidrogen masih memiliki kepadatan kurang dari 1/10 kepadatan air . Massa lapisan luar Jupiter hampir pasti terlalu rendah untuk memiliki efek gravitasi sebanyak bagian dalam yang lebih padat ketika Anda memperhitungkan jatuh ke dalam planet ini.

Planet-planet seperti Uranus atau Neptunus, yang jauh lebih sedikit hidrogen dan helium - mungkin tidak sebanyak itu, tetapi untuk raksasa gas dan sebagian besar bintang, gravitasi sangat mungkin meningkat dengan persentase yang cukup besar dari jari-jarinya, untuk benda yang jatuh di dalamnya.

Tidak tahu apakah itu benar atau tidak untuk Jupiter. Namun, secara teori dimungkinkan jika lapisan terluar planet ini jauh lebih padat daripada benda di bawahnya. Dalam hal itu teorema shell yang diterapkan pada lapisan luar tidak menghilangkan banyak gravitasi, sedangkan gravitasi dari bagian dalam meningkat dengan cepat karena hukum kuadrat terbalik.

Bahkan untuk gambar yang Anda posting, gravitasi meningkat di bagian bawah mantel bawah, dekat dengan inti luar - dan untuk alasan yang sama. Barang-barang di lapisan luar adalah "halus", barang-barang di intinya padat.