Mengabaikan perluasan jagat raya, entropi, orbit yang membusuk, dan gangguan dari benda apa pun yang bertabrakan atau mengganggu orbitnya , akankah delapan planet yang dikenal sebagai planet di tata surya kita selaras?

Apa itu "periode" dari planet-planet; seberapa sering mereka menyelaraskan dengan sempurna? Dan berdasarkan posisi mereka saat ini, seberapa jauh ke masa depan penyelarasan teoretis mereka selanjutnya?

Ini adalah akurasi yang rendah - namun sederhana - jawaban

Ini memungkinkan Anda untuk menghitung hanya konfigurasi perataan radial planet-planet.

Jika Anda ingin perkiraan, katakanlah, Anda memperkirakan posisi planet sebagai tangan dalam jam, Anda bisa menghitung dengan sesuatu seperti ini.

Asumsikan adalah sudut awal untuk planet i pada waktu t 0 - diukur dari posisi acak tetapi tetap, dan l i adalah panjang tahun - dalam hari - untuk planet i .$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Kemudian dilanjutkan untuk memecahkan sistem persamaan ini:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Dari sini Anda cukup menerapkan Teorema Sisa Cina .

Menemukan minimum x, akan memberi Anda sudut bahwa planet yang pada memiliki sudut θ i = 0 akan melakukan perjalanan sampai konfigurasi penyelarasan tercapai. Asuming Anda memilih Bumi sebagai planet disebutkan, kemudian membagi sudut yang oleh revolusi lengkap ( 360 o ) dan Anda akan mendapatkan jumlah tahun untuk konfigurasi yang akan dicapai - dari t 0 konfigurasi.$t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

Perbedaan dalam derajat untuk semua planet pada 01 Jan 2014 - Anda dapat menggunakan ini sebagai t 0 :$\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Sumber

Berbeda di hari untuk semua planet:$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Edit 1

Baru saja menemukan situs ini Anda mungkin ingin bermain-main. Ini adalah aplikasi flash interaktif dengan posisi akurat dari planet-planet.

Saya juga tahu bahwa semua informasi dapat diperoleh dari halaman NASA ini dan itu seakurat yang bisa Anda dapatkan, tetapi itu tidak bisa dipahami oleh saya sekarang. Saya akan mencoba merevisinya nanti ketika saya punya waktu.

Juga buku ini oleh Jean Meeus disebut Astronomical Algorithms mencakup semua persamaan mendasar dan formula - meskipun tidak ada hubungannya dengan algoritma pemrograman.

Edit 2

$\tt{telnet}$

Jawaban yang benar adalah ' tidak pernah ', karena beberapa alasan. Pertama , seperti yang ditunjukkan dalam komentar Florin, orbit planet ini tidak co-planar dan karenanya tidak dapat disejajarkan, bahkan jika setiap planet dapat ditempatkan secara sewenang-wenang di bidang orbitnya. Kedua , bahkan penyejajaran radial murni tidak pernah terjadi karena periode planet ini tidak dapat dibandingkan - rasio mereka bukan bilangan rasional. Akhirnya , orbit planet-planet berevolusi selama rentang waktu jutaan tahun, terutama karena tarikan gravitasi satu sama lain. Evolusi ini (lemah) kacau dan dengan demikian tidak dapat diprediksi untuk waktu yang sangat lama.

$10^{16}$

$10^\circ$

Ada cara yang lebih mudah untuk melakukan ini.

1) Lihatlah panjang tahun matahari di hari-hari bumi

2) gandakan panjang tahun-tahun seperti ini: Tahun Merkurius * Tahun Venus * Tahun Bumi * Tahun Mars * Tahun Jovian * Tahun Saturnus * Tahun Uranus * Tahun Neptunus

3) Bagi dengan 365 untuk mendapatkan tahun bumi.

Dan Anda punya waktu ketika mereka akan menyelaraskan lagi secara longitudinal (artinya sudut akan berbeda tetapi dari tampilan atas mereka akan membentuk garis). Itu tidak akan menyelaraskan pada frekuensi yang lebih tinggi karena beberapa planet ini memiliki angka desimal hari bumi dalam tahun mereka.

Secara teknis cara yang benar untuk menemukan periode antara penyelarasan semua 8 planet adalah untuk menemukan LCM dari semua 8 tahun panjangnya.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Saya mengerti bahwa ini adalah perkiraan kasar karena ini dibulatkan ke bilangan bulat terdekat, tetapi memberikan ide yang bagus tentang jumlah hari itu akan mengambil.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Itu berapa tahun.

Adakah estimasi periode umum lebih dari dua planet (yaitu, setelah berapa lama kira-kira mereka menyelaraskan kembali dalam bujur heliosentris?) Sangat bergantung pada seberapa banyak penyimpangan dari penyelarasan sempurna dapat diterima.

$i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$

$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

Derivasi formula di atas adalah sebagai berikut:

$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

$p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Jika Anda menyatakan deviasi yang dapat diterima dalam hal sudut daripada waktu , maka saya berharap Anda akan mendapatkan jawaban yang bergantung pada ukuran deviasi yang dapat diterima seperti halnya rumus di atas.

$P$$b$

EDIT:

$δ$

Karena periode planet tidak sepadan, semua kombinasi garis bujur planet terjadi dengan probabilitas yang sama. Probabilitas bahwa pada suatu saat tertentu garis bujur planet berada dalam segmen lebar berpusat pada garis bujur planet 1 sama dengan i > 1 $q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Probabilitas bahwa planet 2 hingga semuanya berada dalam segmen bujur yang sama yang berpusat di planet 1 adalah$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Untuk menerjemahkan probabilitas itu ke periode rata-rata, kita perlu memperkirakan berapa banyak waktu semua planet diselaraskan (dalam ) setiap kali mereka semua disejajarkan.$δ$

Dua planet pertama yang kehilangan keterpaduan satu sama lain adalah planet yang tercepat dan paling lambat. Jika periode adalah , maka mereka akan berada dalam keselarasan untuk interval dan kemudian keluar dari alignment selama beberapa waktu sebelum masuk ke alignment lagi. Jadi, setiap penyelarasan semua planet berlangsung sekitar interval , dan semua penyelarasan itu bersama-sama mencakup sebagian kecil dari semua waktu. Jika periode rata-rata setelah penyelarasan lain semua planet terjadi adalah , maka kita harus memiliki , jadi$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Jika hanya ada dua planet, maka terlepas dari , seperti yang diharapkan.$P = P_*$$δ$

Jika ada banyak planet, maka planet tercepat jauh lebih cepat daripada yang paling lambat, maka hampir sama dengan periode orbit planet tercepat.$P_*$

Di sini, juga, perkiraan waktu rata-rata antara keberpihakan yang berurutan sangat sensitif terhadap batas deviasi yang dipilih (jika ada lebih dari dua planet yang terlibat), jadi tidak ada artinya mengutip periode gabungan seperti itu jika Anda juga tidak menyebutkan apa penyimpangan diizinkan.

Penting juga untuk diingat bahwa (jika ada lebih dari dua planet) keselarasan (dekat) dari semuanya tidak terjadi secara berkala.

Sekarang mari kita tancapkan beberapa angka. Jika Anda ingin semua 8 planet sejajar dalam 1 derajat bujur, maka waktu rata-rata antara dua keselarasan tersebut kira-kira sama dengan orbit dari planet tercepat. Untuk Tata Surya, Merkurius adalah planet tercepat, dengan periode sekitar 0,241 tahun, jadi waktu rata-rata antara dua penyelarasan semua 8 planet hingga dalam 1 derajat garis bujur adalah sekitar tahun. 5 × 10 $P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Jika Anda sudah puas dengan penyelarasan hingga dalam 10 derajat garis bujur, maka periode rata-rata antara dua garis tersebut kira-kira sama dengan orbit Merkurius, yaitu sekitar 500 juta tahun.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Apa keselarasan terbaik yang dapat kita harapkan selama 1000 tahun mendatang? 1000 tahun adalah sekitar 4150 orbit Merkurius, jadi , jadi . Dalam interval 1000 tahun yang dipilih secara acak, ada rata-rata satu penyelarasan dari semua 8 planet ke dalam segmen 90 °.δ ≈ 90 $(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$