Apa bentuk (di sepanjang pesawat, bukan naik-turun) dari orbit bintang di galaksi spiral datar

Maksud saya adalah, dengan orbit massa pusat relatif sederhana, tetapi orbit di sekitar galaksi berbeda, pada dasarnya sebagai bintang yang mengorbit melalui materi gelap halo, semakin jauh ia bergerak menjauh dari pusat galaksi, semakin besar medan gravitasi , jadi sementara orbit cenderung melambat ketika energi kinetik diubah menjadi energi potensial, bintang-bintang secara efektif mengorbit di sekitar massa semakin jauh mereka berasal dari pusat galaksi, yang mungkin mempercepatnya. Wilayah yang sama dengan aturan waktu yang sama tampaknya tidak lagi berlaku.

Jadi, mengabaikan gerakan naik dan turun relatif terhadap bidang galaksi, apakah ada bentuk umum untuk orbit galaksi? Apakah ada formula? Saya pikir eksentrisitas masih berlaku, tetapi saya tidak berpikir orbitnya adalah elips, jadi itu adalah jenis eksentrisitas yang berbeda. Apakah orbit ini cenderung beredar (dalam awan materi gelap yang ideal, mengabaikan gangguan. Jelas gangguan akan mengarah pada, dalam arti praktis, orbit yang tidak dapat diprediksi, formula yang tidak rapi dan rapi. Saya berkumpul dari sebuah acara yang saya tangkap di saluran sains bahwa Medan magnet Bima Sakti juga berperan dalam membentuk lengan spiralnya, tetapi saya bertanya dalam pengertian matematika yang ideal, bentuk apa yang akan mengorbit melalui galaksi, dari sudut pandang 2D, mengabaikan gerakan naik turun.

Memperbarui

Terpikir oleh saya bahwa pertanyaan itu mungkin lebih sederhana ditanyakan oleh lubang hitam yang berlaku "mengorbit" melalui planet atau bahkan neutrino kecepatan rendah (jika ada neutrino kecepatan rendah). Bagian dalam orbit planet sangat berbeda dari orbit Kepler, karena gravitasi meningkat ketika objek bergerak lebih jauh dari pusat. Orbit keseluruhan mungkin masih agak seperti elips tetapi hukum untuk orbit seperti itu akan berbeda, Anda akan melihat percepatan tertinggi pada titik terjauh dari pusat meskipun Anda mungkin masih melihat kecepatan tertinggi pada titik terdekat dengan pusat.

Ngomong-ngomong, saya kebanyakan hanya ingin tahu apakah bentuk itu telah dikerjakan dan seperti apa bentuknya.

Ini adalah pertanyaan yang menarik dan sering kali pertanyaan yang menarik tidak mudah dijawab dengan pengetahuan saat ini, tetapi yang ini bisa dijawab sampai tingkat tertentu. Saya akan membahas dasar-dasar teori orbital dan menjelaskan bagaimana mereka dapat berlaku untuk galaksi dan bagaimana hal itu berbeda dari sistem Kepler. Anda harus memiliki pemahaman yang wajar tentang fisika Newton (setelah semua orbit tepat berasal dari hukum Newton) dan pengetahuan matematika yang kuat. Jika Anda tidak memiliki hal-hal ini, lompat saja ke akhir setiap bagian di mana saya akan mencoba merangkum poin-poin penting di balik matematika.

Catatan singkat tentang notasi matematika akan saya gunakan. Sebuah titik di atas simbol menunjukkan turunan waktu (misalnya, ) dan simbol yang dicetak miring, dicetak tebal adalah jumlah vektor (misalnya, ). Mari kita mulai bisnis.$\dot{a}$$\bf F$

Persamaan Gerak Orbital

Pertimbangkan sebagai beberapa posisi dan bergerak dengan gerakan yang dijelaskan oleh . Massa ini mengalami gaya yang hanya merupakan fungsi jarak radial, , dari pusat sistem koordinat. Tujuannya di sini adalah untuk menentukan persamaan gerak yang dapat menggambarkan orbit massa akibat gaya ini. Persamaan ini kemudian dapat digunakan untuk menyelesaikan untuk . Menurut hukum Newton, persamaan gerak pada awalnya dapat didefinisikan$m$$\bf r$$\bf \dot{r}$$\textbf{F}(r)$$r$$r(\theta)$

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Perhatikan bahwa dalam kasus ini hanyalah komponen radial dari dan adalah sudut azimut tubuh dalam sistem koordinat bola. Saya akan menyerahkan kepada Anda untuk menentukan cara memecah akselerasi ke dalam dua komponen di atas, di bawah sistem koordinat yang sesuai. Mari kita coba untuk menghapus dependensi kita sehingga kita hanya memiliki fungsi . Ini dapat dicapai dengan menggunakan konservasi momentum sudut. Momentum sudut per satuan massa diberikan oleh sehingga . Ini memberi$r$$\bf r$$\theta$$\theta$$r$$\ell = r^2\dot{\theta}$$\dot{\theta} = \ell/r^2$

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Ini sekarang adalah persamaan diferensial yang memungkinkan kita untuk menyelesaikan untuk , tetapi kita ingin jadi kita perlu melakukan beberapa konversi. Mari kita melakukan parameterisasi ulang dengan mendefinisikan (alasannya akan menjadi sedikit jelas) dan menentukan dalam hal dan .$r(t)$$r(\theta)$$u \equiv 1/r$$\ddot{r}$$u$$\theta$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Perhatikan substitusi . Sekarang bedakan lagi untuk menentukan .$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$$\ddot{r}$

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Masukkan ini ke dalam ekspresi kami untuk persamaan gerak dan buat transformasi yang akhirnya diberikan$r=1/u$

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Akhirnya kami menulis dalam bentuk yang lebih nyaman

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

Ingat bahwa, adalah massa tubuh, , adalah momentum sudut per satuan massa, adalah gaya radial murni yang bekerja pada tubuh, dan dan adalah posisi koordinat radial dan azimut dari massa.$m$$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$$\ell$$\bf F$$r$$\theta$

Punchline : Hasil akhir di sini adalah persamaan umum gerak untuk benda yang mengorbit menurut beberapa gaya arbitrer. Ini bisa gravitasi, elektromagnetik, gaya pegas, atau apa pun yang kita putuskan. Ini sengaja diturunkan di bawah asumsi umum dan non-konstruktif dan mudah-mudahan Anda dapat melihat bahwa itu dapat digunakan untuk memahami gerakan orbit bintang yang mengorbit di galaksi disk. Sasaran dari persamaan ini adalah untuk menghubungkan kekuatan Anda (apa pun itu) dan menyelesaikannya untuk . Dari sana mudah untuk menentukan .$u(\theta)$$r(\theta)$

Gerakan Keplerian

Sebelum kita melihat gerakan orbital di galaksi, mari kita lihat gerakan Keplerian standar sehingga kita memiliki sesuatu untuk dibandingkan. Gerakan Keplerian berasal dari asumsi bahwa massa kita mengorbit massa tunggal, seperti titik dan di bawah pengaruh gravitasi sederhana. Dalam hal itu, kita dapat menulis gaya kita sebagai dan dengan demikian , di mana adalah konstanta, yang didefinisikan di sini untuk kesederhanaan matematis. Perhatikan bahwa adalah konstanta gravitasi. Persamaan orbital umum, di bawah kekuatan ini, sekarang menjadi$m$$M$$F(r) = kr^{-2}$$F(1/u) = ku^2$$k\equiv GMm$$G$

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Ini adalah persamaan diferensial standar orde kedua, tidak homogen dengan fungsi pemaksaan konstan. Jika Anda mengetahui Diff EQ Anda, Anda harus segera mengetahui solusinya.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

Dalam persamaan ini, adalah konstanta yang tidak diketahui, dan mewakili sudut awal orbit, yang dapat kita pilih secara acak menjadi nol. Tujuan utama kami adalah mendapatkan jadi mari kita lakukan itu. Saya akan melakukan beberapa langkah dalam satu dan meninggalkan Anda untuk bekerja keluar matematika. Saya akan mengisi untuk dan mendefinisikan momentum sudut sebagai mana adalah pengurangan massa sistem kami . Saya juga akan menyatakan, tanpa bukti, bahwa mana adalah eksentrisitas orbit.$A$$\theta_0$$r(\theta)$$k = GMm$$L = \ell\mu$$\mu$$e = A(m\ell^2/k)$$e$

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

Punchline : Kami telah menemukan persamaan akhir yang mewakili gerakan orbital massa di bawah pengaruh gravitasi akibat titik-seperti massa . Jika Anda tahu barang-barang Anda, Anda akan melihat bahwa persamaan ini dengan tepat menggambarkan bagian kerucut, tergantung pada nilai . Jika , Anda mendapatkan gerakan melingkar (karena menjadi konstanta). Jika , Anda mendapatkan gerakan elips, adalah gerakan parabola dan adalah hiperbolik.$M$$e$$e = 0$$r(\theta)$$0 < e <1$$e=1$$e > 1$

Seperti yang diharapkan, gerak Keplerian (yaitu, memiliki kekuatan pusat sehingga ) menghasilkan kerucut, yang merupakan hukum pertama Kepler. Hukum Kepler kedua dan ketiga kurang lebih berasal dari asumsi yang sama. Maka masuk akal bahwa, setiap sistem di mana tidak mengikuti hukum Kepler. Orbitnya bukan berbentuk kerucut yang sempurna (misalnya elips, lingkaran, dll.), Mereka tidak menyapu area yang sama dalam waktu yang sama, dan standar tentu saja tidak berlaku.$F\propto r^{-2}$$F \not \propto r^{-2}$$P^2 \propto a^3$

Orbital Motion di Galaxy

Pertanyaan Anda dengan tepat menggambarkan situasi bintang (atau apa pun sebenarnya) yang mengorbit di galaksi. Bintang tidak mengorbit massa pusat seperti titik. Mereka tertanam di dalam kedua materi baryonic dan dark yang terdiri dari galaksi dan mengorbit melaluinya. Ini adalah konsep yang terkenal dalam fisika bahwa distribusi massa simetris bola tidak memiliki tarikan gravitasi net pada interior objek untuk distribusi itu, yang berarti bahwa untuk bintang di galaksi, massa yang mempengaruhi orbitnya adalah interior massa untuk jari-jarinya. Jika jari-jari itu berubah, massa berubah!

Gaya sentral pada bintang kita masih berupa gravitasi, tetapi massa yang bekerja di atasnya akan menjadi semua interior massa hingga beberapa radius, dilambangkan oleh . Kita dapat melihat bahwa . Jika kita ingin menentukan gaya yang bekerja pada bintang kita (dan dengan demikian orbit yang tepat, melalui persamaan diferensial di atas), pertama-tama kita harus mencari tahu apa interior massa untuk beberapa jari-jari. Ini dapat dicapai dengan menggunakan persamaan kontinuitas massa .$M_r$$F(r) = GM_r(r)m/r^2$

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

Anda pada dasarnya dapat mengetahui semua interior massa ke dengan mengintegrasikan semua kepadatan massa sebagai fungsi . Di sini tentu saja, Anda memerlukan persamaan yang baik untuk . Profil kepadatan sederhana, tetapi secara fisik tidak realistis adalah Singular Isothermal Sphere (SIS), sedangkan persamaan yang lebih realistis, tetapi secara matematis kompleks mungkin adalah profil NFW atau profil Einasto .$r$$r$$\rho(r)$

Sekarang saya telah meletakkan semua langkah yang Anda butuhkan untuk mengetahui gerakan orbital di galaksi, tetapi saya harus mengatakan, itu tidak cantik. Kita dapat melihat sebagian dari kasus paling sederhana, yaitu SIS.

Sphere Isotermal Tunggal

Untuk bidang isotermal singlar, Anda memilikinya , di mana adalah kecepatan rotasi bintang Anda. Profil ini bergantung pada fakta penting galaksi disk profil rotasi mereka datar! Ini sudah mapan, misalnya oleh Ruben et al. 1978 . Saya telah mereproduksi gambar dari makalah ini di bawah ini yang menunjukkan kurva rotasi untuk beberapa galaksi. Poin penting di sini adalah bahwa ini menunjukkan konstan dan tidak bergantung pada jari-jari! (Dengan asumsi kita tidak berada di dekat tonjolan galaksi atau pusat. Itu adalah binatang yang sama sekali berbeda.)$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$$v$$-$$v$

Dengan informasi penting ini, kami dapat menyelesaikannya untuk dengan mengintegrasikan (yang akan saya serahkan kepada Anda). Hasilnya adalah itu$M_r$$\rho(r)$

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Ini berarti kekuatan Anda diberikan oleh

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

Anda dapat melihat di sini bahwa tidak seperti kasus Keplerian, gaya kami sebanding dengan daripada . Anda dapat melakukan proses ini dengan profil kerapatan lain (seperti NFW atau Einasto I yang tercantum di atas), tetapi Anda akan berakhir dengan hasil yang sama.$r^{-1}$$r^{-2}$

Jika Anda cenderung, Anda dapat memilih untuk memasukkan ini ke dalam persamaan orbital dari gerakan di atas dan menyelesaikannya, tetapi Anda sekarang bekerja dengan persamaan diferensial non-linear dan segala sesuatunya dapat menjadi berantakan dengan cepat.

Punchline : Saya tidak yakin apakah ini benar-benar menjawab pertanyaan Anda atau tidak. Saya telah membawa Anda sebagian ke dalam lubang kelinci, tetapi mudah-mudahan Anda dapat menghargai betapa rumitnya hal itu dengan cepat. Semua pekerjaan di atas menggunakan asumsi dan penyederhanaan yang luas. Saya kira jawaban singkat untuk semua ini adalah bahwa bintang-bintang mengorbit galaksi dalam orbit yang kompleks dan tertutup yang tidak mudah digambarkan secara tepat (bahkan untuk galaksi kita sendiri) melalui persamaan yang dapat dihitung. Kita dapat memperkirakan dan melakukan yang terbaik untuk mengerjakan matematika, tetapi pada akhirnya merupakan perkiraan. Namun, dalam perkiraan yang paling kasar, Anda mungkin juga menganggap orbit seperti bintang kita melingkar dan dilakukan dengannya.